N个节点构成二叉树个数计算 -- JAVA 数据结构学习
来源:互联网 发布:稻草人旅行 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 04:55
1 、计算N个节点能够组成的二叉树个数
可以分析,当n=1时,只有1个根节点,则只能组成1种形态的二叉树,令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n),则h(1)=1; h(0)=1;
当n=2时,1个根节点固定,还有2-1个节点。这一个节点可以分成(1,0),(0,1)两组。即左边放1个,右边放0个;或者左边放0个,右边放1个。即:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2,则能组成2种形态的二叉树。
当n=3时,1个根节点固定,还有2个节点。这2个节点可以分成(2,0),(1,1),(0,2)3组。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5,则能组成5种形态的二叉树。
以此类推,当n>=2时,可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)种,即符合Catalan数的定义,可直接利用通项公式得出结果。
令h(1)=1,h(0)=1,catalan数(卡特兰数)满足递归式:
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另类递归式:
h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
该递推关系的解为:
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
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