HDU 6155 DP+矩阵+线段树

题目链接

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思路：
设dp[i][0/1]是前i个字符能组成的以0/1结尾的子串个数。

若第i个字符为0，则：
dp[i][0]=dp[i−1][0]+dp[i−1][1]+1
dp[i][1]=dp[i−1][1]

怎么来理解这个递推式呢？考虑把第i个字符0加在前i−1个字符组成的合法串的后面，来形成一个新的串。
加在dp[i−1][0] 这些串后面，则结尾连续0的个数>1
若加在dp[i−1][1]这些串的后面，结尾连续0的个数=1
另外还可以加在空串的后面。
这样就能做到不重不漏地DP。（思路学习于题解评论区的q神，链接）

相应的，当第i个字符为1，则：
dp[i][1]=dp[i−1][0]+dp[i−1][1]+1
dp[i][0]=dp[i−1][0]

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然后考虑将线性递推式用矩阵表示：（此处参考博客链接）

当第i项为0：

(dp[i−1][0]dp[i−1][1]1)∗⎛⎝⎜111010001⎞⎠⎟=(dp[i][0]dp[i][1]1)

当第i项为1：

(dp[i−1][0]dp[i−1][1]1)∗⎛⎝⎜100111001⎞⎠⎟=(dp[i][0]dp[i][1]1)

故将递推式转化为矩阵的乘法，考虑用线段树维护。
对于翻转操作观察易发现就是先将矩阵的前两行互换，然后将矩阵的前两列互换。

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还有一个关于最终答案的细节。
线段树维护的是一个3x3的矩阵，而最终我们只需要其中的两个值，位置分别是最后一行的第一个元素和第二个元素。

可以这么来理解这件事。

假设我们已经通过不断的矩阵连乘得到了一个最终的转移矩阵，设其为：

⎛⎝⎜a1a4a7a2a5a8a3a6a9⎞⎠⎟

而我们要得到最终答案，可以参考一开始的矩阵递推式，左乘一个：

(dp[0][0]dp[0][1]1)

因为dp[0][0]=dp[0][1]=0

故最终表达式为：

(001)∗⎛⎝⎜a1a4a7a2a5a8a3a6a9⎞⎠⎟=(a7a8a9)

故a7,a8就是我们最终要求的值。

以上。

代码：

#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;#define lson rt<<1#define rson rt<<1|1const int mod = 1e9 + 7;const int A = 1e5 + 10;class Mat{public:    int a[3][3];    void init(int val){        memset(a,0,sizeof(a));        if(!val)             a[0][0] = a[1][0] = a[2][0] = a[1][1] = a[2][2] = 1;        else if(val == 1)    a[0][0] = a[0][1] = a[1][1] = a[2][1] = a[2][2] = 1;        else                 a[0][0] = a[1][1] = a[2][2] = 1; //单位矩阵    }    Mat operator*(const Mat& rhs) const{        Mat res;        for(int i=0 ;i<3 ;i++) for(int j=0 ;j<3 ;j++){            res.a[i][j] = 0;            for(int k=0 ;k<3 ;k++) res.a[i][j] = (res.a[i][j] + 1LL*a[i][k]*rhs.a[k][j])%mod;        }        return res;    }    void rev(){   //矩阵翻转        for(int i=0 ;i<3 ;i++) swap(a[i][0],a[i][1]);        for(int i=0 ;i<3 ;i++) swap(a[0][i],a[1][i]);    }};class Seg_Tree{public:    int l,r,mark;    Mat mat;}Tree[A<<2];char s[A];inline void push_up(int rt){Tree[rt].mat = Tree[lson].mat*Tree[rson].mat;}inline void push_down(int rt){    if(Tree[rt].mark){        Tree[rt].mark = 0;        Tree[lson].mark ^= 1;Tree[lson].mat.rev();        Tree[rson].mark ^= 1;Tree[rson].mat.rev();    }}void build_Tree(int rt,int l,int r){    Tree[rt].l = l,Tree[rt].r = r;    Tree[rt].mark = 0;    if(l == r){Tree[rt].mat.init(s[l]-'0');return;}    int mid = (l+r)>>1;    build_Tree(lson,l,mid);build_Tree(rson,mid+1,r);    push_up(rt);}void update(int rt,int st,int ed){    int l = Tree[rt].l,r = Tree[rt].r;    if(st<=l && r<=ed){        Tree[rt].mat.rev();        Tree[rt].mark ^= 1;        return;    }    push_down(rt);    int mid = (l+r)>>1;    if(st<=mid) update(lson,st,ed);    if(ed> mid) update(rson,st,ed);    push_up(rt);}Mat query(int rt,int st,int ed){    int l = Tree[rt].l,r = Tree[rt].r;    if(st<=l && r<=ed)  return Tree[rt].mat;    push_down(rt);    Mat res;res.init(2);    int mid = (l+r)>>1;    if(st<=mid) res = query(lson,st,ed)*res;    if(ed> mid) res = res*query(rson,st,ed);    return res;}int main(){    int T;scanf("%d",&T);    while(T--){        int n,q;        scanf("%d%d",&n,&q);        scanf("%s",s+1);        build_Tree(1,1,n);        while(q--){            int op,l,r;scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);            if(op == 1) update(1,l,r);            else{                Mat ans = query(1,l,r);                printf("%d\n",(ans.a[2][0]+ans.a[2][1])%mod);            }        }    }    return 0;}