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组合数学-大组合数取模（Lucas定理）

题意：

将不超过m颗的相同的豆子放在n棵不同的树上，每棵树可以为空，求方案数mod p

（1 <= n, m <= 1000000000, 1 < p < 100000,p是质数）

分析：

可以理解为有m颗豆子，在n棵树上放k颗，然后再加一棵树，放m-k颗，于是变成了m颗相同的豆子放在n+1棵不同树上的方案数。

也就是求a[1]+a[2]+a[3]+......+a[n+1]=m，(a[i]>=0)的方案数，但是这种情况并不好计算，我们可以让每一份都加上1，令b[i]=a[i]+1>=1, 则b[1]+b[2]+b[3]+......b[n+1]=m+n+1,

可以用插板法了，m+n+1个元素有m+n个空，分成n+1份就是插n个板子，所以答案就是C(n+m,m) %p

数论Lucas定理： 用来求 c(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）。

描述为:

Lucas(n,m,p)=cm(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)

Lucas(x,0,p)=1;

而

cm(a,b)=a! * (b!*(a-b)!)^(p-2) mod p

也= (a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p

这里，其实就是直接求 (a!/(a-b)!) / (b!) mod p

由于 (a/b) mod p = a * b^(p-2) mod p

代码：

#include <cstdio>  #include <cstdlib>  #include <cstring>  #include <algorithm>  using namespace std;  const int MAX = 100005;  typedef long long ll;    ll f[MAX];  ll mul(ll x, ll y, ll p)  {      ll res = 0;      while(y)      {          if(y&1) res = (res+x) % p;          x = (x<<1) % p;          y >>= 1;      }      return res;  }  void exgcd(ll a, ll b, ll &d, ll &x, ll &y)  {      if (!b)      {          d = a;          x = 1;          y = 0;      }      else      {          exgcd(b, a%b, d, y, x);          y -= a/b * x;      }  }  void initp(int p)  {      f[0] = f[1] = 1;      for(int i = 2; i < p; i++)        f[i] = (f[i-1]*i) % p;  }    ll comb(ll n, ll m, ll p)  {      if(m > n) return 0;      ll ans = f[n];      ll g, x, y;      exgcd(f[m], p, g, x, y);      ans = mul(ans, (x%p)%p+p, p);      exgcd(f[n-m], p, g, x, y);      ans = mul(ans, (x%p)%p+p, p);      return ans;  }    //n取m，如果可能m>n请特判return 0;  ll lucas(ll n, ll m, int p)  {      ll ans = 1;      initp(p);      if(m > n) return 0;      while(n && m && ans)      {          ans = mul(comb(n%p, m%p, p), ans, p);          n /= p;          m /= p;      }      return ans;  }  void work()  {      ll n, m, p, ans;      scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);      ans = lucas(n + m, m, p);      printf("%I64d\n", ans);  }  int main()  {      int T;  scanf("%d",&T);      while(T--)          work();      return 0;  }