UVa 12716 (GCD == XOR)

• 题意：
  
  • 给定N，求二元组（A,B）的个数，满足：
  • 1<=A<=B<=NAxorB==gcd(A，B)

• 规模：

  • 1≤N≤30000000
  • T≤10000

• 类型：

  • 数论，gcd

• 分析：

  • 这里有一个规律：
  • 如果AxorB==gcd(A,B)，则A-B==gcd(A,B)

  • 证明：

    • 1式：AxorB>=A−B
      
      • 这里考虑将AB对应位数字不同的位置，交换使得，1在A里，0在B里，
      • 这样变化后异或值不变，但A-B增大。极限情况下AxorB==A−B
    • 2式：gcd(A,B)<=A−B ( 这个易证 )
    • 而我们有 AxorB==gcd(A,B)，由12两式AxorB==(A−B)==gcd(A,B)

  • 接下来，枚举gcd(A,B)（设为C）的值，A是C的倍数，看B是否符合

  • B==AxorC ==A-C
• 代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<queue>#include<stack>#include<math.h>#include<vector>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;const int INF=0x3fff3fff;const int MAXN=3e7+10;const int MAXM=40010;const int MOD=10001;typedef long long ll;long long  n,m;//long long x[2100];int aa[MAXN];int ans[MAXN];int main(){    std::ios::sync_with_stdio(false);    std::cin.tie(0);    int T,n,a,b,c;    memset(ans,0,sizeof(ans));    memset(aa,0,sizeof(ans));    for(int i=1;i<MAXN;i++){       // cout<<i<<endl;        for(int j=2;j*i<MAXN;j++){            c=i;a=i*j;            b=c^a;//b=a-c            if(b==a-c){aa[a]++;}        }    }    for(int i=2;i<MAXN;i++){        ans[i]=ans[i-1]+aa[i];        //cout<<aa[i]<<",";    }    cin>>T;    int kase=0;    while(T--){        cin>>n;        printf("Case %d: %d\n", ++kase, ans[n]);    }    return 0;}