[中等] 动态规划经典－堆石子问题

1. 问题描述：

设有N堆沙子排成一排，其编号为1,2,3,…,N(N<=100)。每堆沙子有一定的数量。现要将N堆沙子并成为一堆。归并的过程只能每次将相邻的两堆沙子堆成一堆，这样经过N-1次归并后成为一堆。找出一种合理的归并方法，使总的代价最小。

【输入格式】

    输入由若干行组成，第一行有一个整数，n（1≤n≤100）；表示沙子堆数。第2至m+1行是每堆沙子的数量。 

【输出格式】

    一个整数，归并的最小代价。

【输入样例】

7
13
7
8
16
21
4
18

【输出样例】

239

2. 解题思路：

首先这也是一个多阶段决策问题，所以考虑采用动态规划来解。

然后研究一下每个决策（合并还是不合并）受哪个或者哪几个因素影响。本题可以看作受两个因素的影响：

（1）要决策的是第 i 堆。

（2）合并的是相邻的一堆。

如果没有（2）的话，我们可以大胆采用d[i]来存储最优值，但因为有了（2），所以这样就不行了。由（2）我们可以知道合并实际上是与两堆相关联的，所以可以根据这两堆将所有堆分成两部分，而第一部分又可以继续分下去，想到这里，便很容易设计出下面的状态转移方程：

d[i][j]=min{d[i][k]+d[k+1][j]+Wi,j},其中d[i][j]表示把第i到j堆合并成一堆的最小代价，Wi,j表示第i到第j堆的石子数量之和。

有了这个转移方程，很容易看出要按照长度（即j－i的值）进行迭代求解。

[小优化]

可以提前算出Wi,j的值，这样可以省掉一个n的时间复杂度。

具体代码可以参考：http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/5805330