【莫比乌斯反演】关于ΣΦ(d|n)=n和Σμ(d|n)=0(*)
来源:互联网 发布:大学英语6级听力知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/08 02:29
首先先推第一个
我是这样想的每一个数字都可以分解为多个素数的乘积,那么
假设这个时候我们将n乘Pk那么就变成了
我们发现对于n来说其他的不是Pk的因数完全没有收到影响,那么其他的没有Pk的就可以表示为
因为欧拉函数是积性函数那么令
那么
同理
那么可以发现化简后就变成了
同理
因为 P_k 在函数f 中没有产生影响 (因为之前的f(n)统计的是d中没有 P_k这个因数的d的欧拉函数和,n多一个因数P_k对f(n)没有产生影响 )所以
下面来推
我们发现同理
这样的话问题就变成了从k个因数中取奇数个和偶数个的种数的差的值是否为-1 可以很快的列出
这个等式是否成立呢?把这个式子展开然后放到杨辉三角中看
那么要证明的就是杨辉三角一行从第一个空位开始-,+,-,+轮流填入符号求和是否为0 那么
就变成了上一行所有元素的和同理偶数个位置上的和就是
也等于上一行所有元素的和
那么相减 = 0 所以
这个时候
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- 【莫比乌斯反演】关于ΣΦ(d|n)=n和Σμ(d|n)=0(*)
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