【JZOJ5330】密码 && Kummer Theorem

【JZOJ5330】密码

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Description

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Sample Input

4 2 2

Sample Output

2

Data Constraint

Hint
样例解释

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解题思路

看到pk|Csl(p是质数)这种东西，立刻想到库默尔定理

库默尔定理

Theorem:
设m，n为正整数，p为素数，则Cmm+n含p的幂次等于m+n在p进制下的进位次数。

反过来
Cmn含p的幂次等于m-n在p进制下的退位次数。

定理证明：
设f(n,p)表示n含p的幂次，有f(n!,p)=∑∞i⌊npi⌋
那么∵Cnm=m!n!(m−n)!∴f(Cnm,p)=f(m!,p)−f(n!,p)−f((m−n)!,p)

∴f(Cnm,p)=∑i∞⌊mpi⌋−⌊npi⌋−⌊m−npi⌋

⌊mpi⌋−⌊npi⌋−⌊m−npi⌋的取值只可能是{0,1}，而且当且仅当m-n在p进制下第i位退位时，它的值为1。
所以Cmn含p的幂次等于m-n在p进制下的退位次数。
原命题得证！

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回到题目，我们只要统计出所有l-s在p进制下退位次数不小于k的组数
考虑从低位到高位转移数位DP：
设fi,j,0/1,0/1表示，在p进制下做到第i位，退位次数为j，i位其后的数是否大于上界的后i位，是否退位
转移方程自己推推就好了，几个等差数列而已。

#include<cstring>#include<cstdio>#include<cctype>#include<algorithm>#define mo 1000000007using namespace std;typedef long long ll;const int N=3333;int f[N][N][2][2],k;ll t[1001],n[N],ans,p;int main(){    freopen("password.in","r",stdin);    freopen("password.out","w",stdout);    for(char c;(c=getchar())>='0' && c<='9';)t[++t[0]]=c-'0';scanf("%lld %d",&p,&k);    for(int i=1;i+i<=t[0];i++)swap(t[i],t[t[0]+1-i]);    while(t[0]){        for(int i=t[0];i;i--){            if(i>1)t[i-1]+=t[i]%p*10;else n[++n[0]]=t[i]%p;t[i]/=p;        }while(t[0] && !t[t[0]])t[0]--;    }if(n[0]<k){printf("0");return 0;}    f[0][0][0][0]=1;    for(int i=0;i<n[0];i++)for(int j=0;j<=i;j++){        f[i+1][j][0][0]=((ll)f[i+1][j][0][0]+(n[i+1]+1)*(n[i+1]+2)/2%mo*(ll)f[i][j][0][0]+n[i+1]*(n[i+1]+1)/2%mo*((ll)f[i][j][0][1]+(ll)f[i][j][1][0])+n[i+1]*(n[i+1]-1)/2%mo*(ll)f[i][j][1][1])%mo;        f[i+1][j+1][0][1]=((ll)f[i+1][j+1][0][1]+(2*p-n[i+1]-2)*(n[i+1]+1)/2%mo*(ll)f[i][j][0][0]+(2*p-n[i+1])*(n[i+1]+1)/2%mo*(ll)f[i][j][0][1]+(2*p-n[i+1]-1)*n[i+1]/2%mo*(ll)f[i][j][1][0]+(2*p-n[i+1]+1)*n[i+1]/2%mo*(ll)f[i][j][1][1])%mo;        f[i+1][j][1][0]=((ll)f[i+1][j][1][0]+(n[i+1]+p+2)*(p-n[i+1]-1)/2%mo*(ll)f[i][j][0][0]+(p+n[i+1])*(p-n[i+1]-1)/2%mo*(ll)f[i][j][0][1]+(p+n[i+1]+1)*(p-n[i+1])/2%mo*(ll)f[i][j][1][0]+(p+n[i+1]-1)*(p-n[i+1])/2%mo*(ll)f[i][j][1][1])%mo;        f[i+1][j+1][1][1]=((ll)f[i+1][j+1][1][1]+(p-n[i+1]-2)*(p-n[i+1]-1)/2%mo*(ll)f[i][j][0][0]+(p-n[i+1])*(p-n[i+1]-1)/2%mo*((ll)f[i][j][0][1]+(ll)f[i][j][1][0])+(p-n[i+1]+1)*(p-n[i+1])/2%mo*(ll)f[i][j][1][1])%mo;    }    for(int i=k;i<=n[0];i++)ans=ans+f[n[0]][i][0][0];printf("%lld",ans%mo);    fclose(stdin);fclose(stdout);    return 0;}