0-1背包问题

状态 &转移

状态：f(i,C)表示考虑将[0..i]的背包放入容量为C的背包的最大价值
状态转移：

f(i,C)=max{f(i−1,C),v[i]+f(i−1,C)}

解题代码

class Solution {private:    vector<vector<int>> memo;    // [0..index] 放进容量为C的背包的最大价值    int maxValue(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int index, int C){        if (index < 0 || C <= 0)return 0;        if (memo[index][C] != -1)return memo[index][C];        memo[index][C] = max(maxValue(w, v, index - 1, C),            w[index] <= C ?            v[index] + maxValue(w, v, index - 1, C - w[index]) :            0);        return memo[index][C];    }public:    // 动态规划 (优化,只用一维数组存储)    int knapsack2(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int C){        int n = w.size();        if (n == 0)return 0;        // memo[i][j] : 考虑将[0..i]物品放进容积为j的背包最大价值        vector<int> memo(C + 1, -1);        // 对基础问题进行设置,对[0,0]物品进行考虑，分别放进容量为[0..C]的背包的最大价值        for (int j = 0; j <= C; j++)            memo[j] = (j >= w[0] ? v[0] : 0);        for (int i = 1; i < n; i++){            for (int j = C; j >= w[i]; j--)                memo[j] = max(memo[j], j >= w[i] ? v[i] + memo[j - w[i]] : 0);        }        return memo[C];    }    // 动态规划    int knapsack1(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int C){        int n = w.size();        if (n == 0)return 0;        // memo[i][j] : 考虑将[0..i]物品放进容积为j的背包最大价值        memo = vector<vector<int>>(n, vector<int>(C + 1, -1));        // 对基础问题进行设置,对[0,0]物品进行考虑，分别放进容量为[0..C]的背包的最大价值        for (int j = 0; j <= C; j++)            memo[0][j] = (j >= w[0] ? v[0] : 0);        for (int i = 1; i < n; i++){            for (int j = 0; j <= C; j++)                memo[i][j] = max(memo[i - 1][j], j >= w[i] ? v[i] + memo[i - 1][j - w[i]] : 0);        }        return memo[n-1][C];    }    int knapsack(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int C){        int n = w.size();        memo = vector<vector<int>>(n, vector<int>(C + 1, -1));        return maxValue(w, v, n - 1, C);    }    // 测试    void test(){        int weight[] = { 1, 2, 3 };        int value[] = { 6, 10, 12 };        vector<int> w(weight, weight + 3), v(value, value+3);        cout << knapsack(w, v, 5) << endl;    }};