最小生成树

最小生成树

1.是一棵无回路的树。
2.V个顶点那么一定包含V-1条边。
3.是一棵生成树，包含原图中的全部顶点。
4.其中V-1条边全部来自于原图中，且其权重最小。
5.最小生成树不唯一。
6.对于任一生成树T，如果将一条不属于T的边e添加进来，则会产生一个圈。如果从该圈中任意除去一条边，则又恢复生成树的特性。

PS：最小生成树存在当且仅当 G是连通的。在接下来得算法中，我们不考虑图G不连通的情况。

Prim算法和Kruskal算法 分是两种解决在一个无向图中找出一棵最小生成树的算法。
它们的区别在于最小（值的）边的选取上。而他们都属于贪心算法。

3个约束条件：
1.只能用图里面的边。
2.只能正好用掉V-1条边。
3.不能有回路。

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Prim算法-让一棵小树长大

首先我们选取v1作为起始点，根据贪心算法，将小树向外延伸。

此时权重最小的是v1->v4，我们把v4纳入树中。

以v1 和 v4为基础向外生长，同样选择权重最小的，此时有v2和v3，两个点任选一点纳入树中。

再纳入下一个权重最小的点v3

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Kruskal算法-将森林合并成树
第二种贪心策略是连续地按照最小的权选择边，并且当所选的边不产生圈时将它作为去定边。

伪代码描述

voidKrustal(Gragh G){    int EdgesAccepted;    DisjSet S;    PriorityQueue H;    Vertex U, V;    SetType Uset, Vset;    Edge E;    Initialize(S);    ReadGraghIntoHeapArray(G, H);    BuildHead(H);    EdgesAccepted = 0;    {        while(EdgesAccepted < NumVertex-1)        {            E = DeleteMin(H);            Uset = Find(U,S);            Vset = Find(V,S);            if(Uset != Vset)            {                //Accept the edge                EdgeAccepted++;                SetUnion(S, Uset, Vset);            }        }    }}

我们用到的一个恒定的事实是，在算法实施的任一时刻，两个顶点属于同一个集合当且仅当它们再当前的生成森林中连通。因此，每个顶点最初是在它自己的集合中。如果u和v在同一个集合中，那么连接它们的边就要放弃，因为由于它们已经连通了，再添加（u，v）就会形成一个圈。如果两个顶点补在同一个集合中，则将该边加入，并对包含顶点u和v的这两个集合实施一次合并，其实这里用到了不相交集ADT的算法。