Ration和深蓝的下午茶：取石子游戏&异或和

下午茶的时候，Ration在和他的计算姬玩一个游戏：取石子游戏：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

玩了几局之后，深蓝一局没赢。

深蓝：哇，主人好厉害OvO！

Ration：啊哈哈哈哈，今天我来说一下这个游戏（也叫nim游戏）和异或和的关系，知道了这个，就很容易赢了。

深蓝：什么是异或和= =

Ration：（内心OS：我的AI不可能这么笨）首先得明白“异或”的概念。在C++中，"^"表示“异或”这个运算。“异或”就是说，如果两个东西一样，那么它们异或值就是0，否则就是1。这一点在二进制中体现的很明白。0^0就是0,1^1就是0,0^1就是1。举例：“a^b”就等于a,b的异或和。你是计算机，自己跑一遍就理解了。

深蓝：具体怎么操作呢？

Ration：打开编译器，使用普通OI模板。声明变量a=2,b=3。

深蓝：（机械音）声明完毕。（OS：我是计算姬，不是声控计算机！！）

Ration：输出"a^b"。

深蓝：（机械音）1。

深蓝：哦，我明白了！就是把a和b这两个十进制数字转化为对应的二进制的数字，然后按位异或（就是一位一位求异或值），然后把每一位的异或值连起来得到一个新的01数列，然后把这个数列转化为对应的十进制数，就是这两个十进制数的异或和！（qwq求夸奖）

Ration：（摸头）是这样没错。那么多个数的异或和你也会了吧？

深蓝：嗯！就是把前两个数的异或和求出来，再用前两个数的异或和与第三个数求异或和，以此类推？

Ration：是啊。

深蓝：然而这个和nim游戏有啥关系？！（qAq）

Ration：别急。当剩下的石子每一堆的数量的那些数字的异或和为0的时候，该谁取谁就gg。

深蓝：怎么证明？

Ration：首先，如果已经没有石子了，那么是不是取得那个人就gg了？

深蓝：嗯。

Ration：此时异或和为0？

深蓝：嗯。

Ration：假设现在只有两堆石子，分别有x个和y个。而且x<y。假设这时候你从第二堆中取了z（z<y）个，那么，我就有一个神秘操作：我从第一堆中取石子，让第一堆也剩下y-z个。这样，两堆总是相同的，最终你会使一堆为0，我再让另一堆为0，你就gg了。

深蓝：那么如果y-z>x呢？

Ration：那么我就取第二堆，让第二堆也只剩下X个，就可以神秘操作了。

深蓝：然而这个怎么推广到一般情况？

Ration：那我们假设现在还没拿完，还有一些石子，但是每一堆的石子数异或和为0。那很明显，你只要拿，不管拿多少，异或和不可能保持0。所以你不可能在异或和为0的情况下把它拿完。

深蓝：为什么？

Ration：比如有一堆是 ai，我们拿了x个，x<=ai，那这一堆还剩ai-x个。我们把这一堆的数量变成ai-x 相当于对ai异或(ai^(ai-x))。

深蓝：笨蛋主人，说的我一脸懵！

Ration：（OS：我迟早要拆了这破机器）根据异或的自反性，a^x^x=a，那我们假设ai^k=ai-x，那么k应该是(ai^(ai-x))，再根据异或的性质 一个数只有异或自己才会等于0，因为当x>0的时候 ai-x是不可能等于ai的，所以(ai^(ai-x))不等于0，所以现在各堆石子的异或和应该是a1^a2^a3^a4^...^(ai-x)^...^an

深蓝：= =

Ration： 假设有n堆石子，第i堆被拿走了x个，ai表示第i堆的石子数，因为ai-x=ai^ai^(ai-x)，所以上面那个式子就是a1^a2^...^(ai^ai^(ai-x))^..^an（(ai^ai^(ai-x)):i就是被拿石子的那一堆），根据异或的结合律，上面的式子就等于(a1^a2^a3^a4^...^an)^(ai^(ai-x))，等于0^ai^(ai-x)=ai^(ai-x）。

深蓝：OvO

Ration：所以被你拿走石子后，所有石子数的异或和不可能是0，不可能一步拿光。而且，异或和不为0，一定有一种办法让异或和为0，先手必输。所以，每次异或和不为0的时候，我就让它为0，你就gg了。（小声）异或这东西应该是计算姬更厉害，然而我却用计算机中的逻辑运算打败了笨笨的计算姬啊哈哈哈哈……

深蓝：（佯怒）你说谁笨蛋！！！主人你给我回来！！！

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