图的最短路径算法

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：

1. 确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题。适合使用Dijkstra算法。

2. 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

3. 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

4. 全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。

Dijkstra算法

前三种问题使用Dijkstra算法来求解效率都不错。

Dijkstra算法的具体实现方法为：

1. 设置两个顶点的集合T和S：

   a) S中存放已找到最短路径的顶点，初始时，集合S中只有一个顶点，即源点v0；

   b) T中存放当前还未找到最短路径的顶点；

2. 在T集合中选取当前长度最短的一条最短路径(v0,…,vk)，从而将vk加入到顶点集合S中，并修改源点v0到T中各顶点的最短路径长度；重复这一步骤，直到所有的顶点都加入到集合S中，算法就结束了。

时间复杂度：O(n2)
视频参考： 屈老师的算法视频

Floyd算法

Floyd算法是一种求全局最短路径的一种算法，这个算法采用动态规划的思想，d(k)[i, j]表示i到j之间的路径经过最大的节点数不超过k的最短长度，
递推方程：d(k)[i,j]=min{d(k−1)[i,j],d(k−1)[i,k]+d(k−1)[k,j]}
最终结果就是d(n)[i,j]
时间复杂度为O(n3)

视频示例