softmax的log似然代价函数（公式求导）

     在人工神经网络（ANN）中，Softmax通常被用作输出层的激活函数。这不仅是因为它的效果好，而且因为它使得ANN的输出值更易于理解。同时，softmax配合log似然代价函数，其训练效果也要比采用二次代价函数的方式好。

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1. softmax函数及其求导

        softmax的函数公式如下：

        其中，表示第L层（通常是最后一层）第j个神经元的输入，表示第L层第j个神经元的输出，表示自然常数。注意看，表示了第L层所有神经元的输入之和。

        softmax函数最明显的特点在于：它把每个神经元的输入占当前层所有神经元输入之和的比值，当作该神经元的输出。这使得输出更容易被解释：神经元的输出值越大，则该神经元对应的类别是真实类别的可能性更高。

        另外，softmax不仅把神经元输出构造成概率分布，而且还起到了归一化的作用，适用于很多需要进行归一化处理的分类问题。

        由于softmax在ANN算法中的求导结果比较特别，分为两种情况。希望能帮助到正在学习此类算法的朋友们。求导过程如下所示：

2. softmax配合log似然代价函数训练ANN

        在上一篇博文“交叉熵代价函数”中讲到，二次代价函数在训练ANN时可能会导致训练速度变慢的问题。那就是，初始的输出值离真实值越远，训练速度就越慢。这个问题可以通过采用交叉熵代价函数来解决。其实，这个问题也可以采用另外一种方法解决，那就是采用softmax激活函数，并采用log似然代价函数（log-likelihood cost function）来解决。

        log似然代价函数的公式为：

        其中，表示第k个神经元的输出值，表示第k个神经元对应的真实值，取值为0或1。

        我们来简单理解一下这个代价函数的含义。在ANN中输入一个样本，那么只有一个神经元对应了该样本的正确类别；若这个神经元输出的概率值越高，则按照以上的代价函数公式，其产生的代价就越小；反之，则产生的代价就越高。

        为了检验softmax和这个代价函数也可以解决上述所说的训练速度变慢问题，接下来的重点就是推导ANN的权重w和偏置b的梯度公式。以偏置b为例：

        同理可得：

        从上述梯度公式可知，softmax函数配合log似然代价函数可以很好地训练ANN，不存在学习速度变慢的问题。