专题六-最小生成树

马上大二开学了 还有很多没学会的  今天开始学习最小生成树，从网上看了很多资料，这里总结一下。

第一种：prim算法（普里姆算法）

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------维基百科

基本描述：

从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。

1. 输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2. 初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {}；
3. 重复下列操作，直到V_new = V：
   1. 在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合V_new中的元素，而v则是V中没有加入V_new的顶点（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
   2. 将v加入集合V_new中，将（u, v）加入集合E_new中；
4. 输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

/*在第一眼看完介绍后会感觉prim算法和最短路算法很像  都是依次找各个点的最小权值。*/

时间复杂度：

该算法一共有三种写法：邻接矩阵、二叉堆和邻接表、以及斐波那契堆和邻接表，时间复杂度分别为O(V²)、O((V + E) log(V)) = O(E log(V))、O(E + V log(V))。

常规代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn = 1005;const int inf = 1e9;int edge[maxn][maxn];int vis[maxn];int path[maxn];int length[maxn];int n,m,start,sum;void prim(int start){    for(int i=1;i<=n;i++)    {        vis[i]=0;        length[i]=edge[start][i];        path[i]=start;    }    for(int i=1;i<=n;i++)    {        int k=inf;        int u;        for(int j=1;j<=n;j++)        {            if(vis[j]==0&&k>length[j])            {                u=j;                k=length[j];            }        }        vis[u]=1;        sum+=length[u];        for(int j=1;j<=n;j++)        {            if(vis[j]==0&&edge[u][j]<length[j])            {                length[j]=edge[u][j];                path[j]=u;            }        }        if(i!=1)cout<<path[u]<<"->"<<u<<endl;    }}int main(){    while(cin>>n)    {        sum=0;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            for(int j=1;j<=n;j++)            {                if(i==j)edge[i][j]=0;                else edge[i][j]=inf;            }        }        cin>>m;        for(int i=0;i<m;i++)        {            int a,b,c;            cin>>a>>b>>c;            edge[a][b]=edge[b][a]=c;        }        cin>>start;        prim(start);        cout<<sum<<endl;    }    return 0;}