数据结构：线段树

（1）构建

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线段树是一棵二叉树，他的每个节点包含了两个额外的属性start和end用于表示该节点所代表的区间。start和end都是整数，并按照如下的方式赋值:

• 根节点的 start 和 end 由 build 方法所给出。
• 对于节点 A 的左儿子，有 start=A.left, end=(A.left + A.right) / 2。
• 对于节点 A 的右儿子，有 start=(A.left + A.right) / 2 + 1, end=A.right。
• 如果 start 等于 end, 那么该节点是叶子节点，不再有左右儿子。

实现一个 build 方法，接受 start 和 end 作为参数, 然后构造一个代表区间 [start, end] 的线段树，返回这棵线段树的根。

/** * Definition of SegmentTreeNode: * public class SegmentTreeNode { *     public int start, end; *     public SegmentTreeNode left, right; *     public SegmentTreeNode(int start, int end) { *         this.start = start, this.end = end; *         this.left = this.right = null; *     } * } */public class Solution {    /*     * @param start: start value.     * @param end: end value.     * @return: The root of Segment Tree.     */    public SegmentTreeNode build(int start, int end) {        SegmentTreeNode node = null;        if(start==end){            node = new SegmentTreeNode(start, end);        }        if(start<end){            node = new SegmentTreeNode(start, end);                        int m = (start+end)/2;            SegmentTreeNode left = build(start, m);            SegmentTreeNode right = build(m+1, end);                        node.left = left;            node.right = right;        }                return node;    }}

（2）查询区间最大值

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对于一个有n个数的整数数组，在对应的线段树中, 根节点所代表的区间为0-n-1, 每个节点有一个额外的属性max，值为该节点所代表的数组区间start到end内的最大值。

为SegmentTree设计一个 query 的方法，接受3个参数root, start和end，线段树root所代表的数组中子区间[start, end]内的最大值。

package com.graph;import java.util.*;import javax.security.auth.kerberos.KerberosKey;import java.util.*;class SegmentTreeNode {    public int start, end, max;    public SegmentTreeNode left, right;    public SegmentTreeNode(int start, int end, int max) {        this.start = start;        this.end = end;        this.max = max;        this.left = this.right = null;    }}public class Solution {    public int query(SegmentTreeNode root, int start, int end) {        if(root.start==start && root.end==end){//刚好在该区间内            return root.max;        }                int m = (root.start+root.end)/2;        int leftMax=Integer.MIN_VALUE;        int rightMax=Integer.MIN_VALUE;        if(end<=m){//在左子树            leftMax = query(root.left, start, end);        }else if(m+1<=start){//在右子树            rightMax = query(root.right,start, end);        }else{//横跨左右子树            leftMax = query(root.left, start, m);            rightMax = query(root.right, m+1, end);        }                return Math.max(leftMax, rightMax);    }        int[] maxnums = new int[] {3,2,2,1,3,0,3};    int maxIndex=0;    public SegmentTreeNode build(int start, int end) {        SegmentTreeNode node = null;        if(start==end){            node = new SegmentTreeNode(start, end, maxnums[maxIndex++]);        }        if(start<end){            node = new SegmentTreeNode(start, end, maxnums[maxIndex++]);                        int m = (start+end)/2;            SegmentTreeNode left = build(start, m);            SegmentTreeNode right = build(m+1, end);                        node.left = left;            node.right = right;        }                return node;    }               public static void main(String[] args) {Solution s = new Solution();SegmentTreeNode root = s.build(0,3,0);s.query(root, 0, 2);}}

（3）修改线段树

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对于一棵 最大线段树, 每个节点包含一个额外的 max 属性，用于存储该节点所代表区间的最大值。

设计一个 modify 的方法，接受三个参数 root、 index 和 value。该方法将 root 为跟的线段树中 [start, end] = [index, index] 的节点修改为了新的 value ，并确保在修改后，线段树的每个节点的 max 属性仍然具有正确的值。

/** * Definition of SegmentTreeNode: * public class SegmentTreeNode { *     public int start, end, max; *     public SegmentTreeNode left, right; *     public SegmentTreeNode(int start, int end, int max) { *         this.start = start; *         this.end = end; *         this.max = max *         this.left = this.right = null; *     } * } */public class Solution {    /*     * @param root: The root of segment tree.     * @param index: index.     * @param value: value     * @return:      */    public void modify(SegmentTreeNode root, int index, int value) {        update(root, index, index, value);        }        boolean update(SegmentTreeNode node, int s, int e, int value){        if(node.start==s && node.end==e){            node.max=value;            return true;        }                boolean flag1=false, flag2=false;        int m = (node.start+node.end)/2;        if(e<=m){            flag1 = update(node.left, s, e, value);        }else if(m+1<=s){            flag1 = update(node.right, s, e, value);        }else{            flag1 = update(node.left,  s,   m, value);            flag2 = update(node.right, m+1, e, value);        }                if(flag1 || flag2){            int tmpMax = node.max;            node.max = Math.max(node.left.max, node.right.max);                        if(tmpMax!=node.max)                return true;//node的值更新了            else                 return false;        }else{            return false;        }    }    }