朴素贝叶斯方法（Naive Bayes）原理和实现

模型概述

朴素贝叶斯方法，是指

朴素：特征条件独立

贝叶斯：基于贝叶斯定理

根据贝叶斯定理，对一个分类问题，给定样本特征x，样本属于类别y的概率是

p(y|x)=p(x|y)p(y)p(x)。。。。。。（1）

在这里，x是一个特征向量，将设x维度为M。因为朴素的假设，即特征条件独立，根据全概率公式展开，公式（1）可以表达为

p(y=ck|x)=∏Mi=1p(xi|y=ck)p(y=ck)∑kp(y=ck)∏Mi=1P(xi|y=ck)。。。。（2）

这里，只要分别估计出，特征xi在每一类的条件概率就可以了。类别y的先验概率可以通过训练集算出，同样通过训练集上的统计，可以得出对应每一类上的，条件独立的特征对应的条件概率向量。
如何统计，就是下一部分——学习——所关心的内容。

学习（参数估计）

下面介绍如何从数据中，学习得到朴素贝叶斯分类模型。概述分类方法，并提出一个值得注意的问题。

学习

训练集TrainingSet={(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)} 包含N条训练数据，其中 xi=(x(1)i,x(2)i,...,x(M)i)T是M维向量，yi∈{c1,c2,...cK}属于K类中的一类。

学习 1.首先，我们来计算公式（2）中的p(y=ck)

p(y=ck)=∑Ni=1I（yi=ck）N。。。。（3）

其中I(x)为指示函数，若括号内成立，则计1，否则为0。

学习 2.接下来计算分子中的条件概率，设M维特征的第j维有L个取值，则某维特征的某个取值ajl，在给定某分类ck下的条件概率为：

p(xj=ajl|y=ck)=∑Ni=1I(xji=ajl,yi=ck)∑Ni=1I(yi=ck)。。。（4）

经过上述步骤，我们就得到了模型的基本概率，也就完成了学习的任务。

分类

通过学到的概率，给定未分类新实例X，就可以通过上述概率进行计算，得到该实例属于各类的后验概率p(y=ck|X)，因为对所有的类来说，公式（2）中分母的值都相同，所以只计算分子部分即可，具体步骤如下：

分类 1.计算该实例属于y=ck类的概率

p(y=ck|X)=p(y=ck)∏j=1np(X(j)=x(j)|y=ck)。。。（5）

分类 2.确定该实例所属的分类y

y=argmaxckp(y=ck|X)。。。。（6）

于是我们得到了新实例的分类结果

拉普拉斯平滑

到这里好像方法已经介绍完了，实则有一个小问题需要注意，在公式（3）（4）中，如果从样本中算出的概率值为0该怎么办呢？

下面介绍一种简单方法，给学习步骤中的两个概率计算公式，分子和分母都分别加上一个常数，就可以避免这个问题。更新过后的公式如下：

p(y=ck)=∑Ni=1I（yi=ck）+λN+Kλ。。。。（7）

K是类的个数

p(xj=ajl|y=ck)=∑Ni=1I(xji=ajl,yi=ck)+λ∑Ni=1I(yi=ck)+Ljλ。。。（8）

Lj是第j维特征的最大取值

可以证明，改进以后的（7）（8）仍然是概率。平滑因子λ=0即为（3）（4）实现的最大似然估计，这时会出现在本节开始时提到的0概率问题；而λ=1则避免了0概率问题，这种方法被称为拉普拉斯平滑。

实现：朴素贝叶斯下的文本分类

根据上面的算法流程，在这里实现一个句子极性划分的例子。所谓句子极性是指，句子所表达的情感色彩，例如积极/消极，这里（书里）使用的是侮辱性/非侮辱性。其实是什么类别不重要，只要给定有标签的训练数据，就可以得到分类模型。
下面简述实现思想和流程，给出代码。

算法思想和流程

给定的训练集是标定了 侮辱性/非侮辱性 的句子（因为是英语句子，所以基本视分词为已经解决的问题，如果是汉语，则要先进行分词），我们认为特征就是句子中的单个词语。单个词语有极性表征，整个句子所包含的单词的极性表征就是句子的极性。

由以上的基础，应用朴素贝叶斯分类，就变成了这样的问题

初始化步，构建可以表征句子的特征向量（词汇表）。并根据这个特征向量，把训练集表征出来。从训练集中分离部分数据作为测试集。

学习步，计算类的先验概率和特征向量对应每一类的条件概率向量

分类步, 计算测试集中待分类句子在每一类的分类后验概率，取最大值作为其分类，并与给定标签比较，得到误分类率。

代码

初始化：

def loadDataSet():#数据格式    postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],                 ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],                 ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],                 ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],                 ['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],                 ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]    classVec = [0,1,0,1,0,1]#1 侮辱性文字 ， 0 代表正常言论    return postingList,classVecdef createVocabList(dataSet):#创建词汇表    vocabSet = set([])    for document in dataSet:        vocabSet = vocabSet | set(document) #创建并集    return list(vocabSet)def bagOfWord2VecMN(vocabList,inputSet):#根据词汇表，讲句子转化为向量    returnVec = [0]*len(vocabList)    for word in inputSet:        if word in vocabList:            returnVec[vocabList.index(word)] += 1    return returnVec

训练：

def trainNB0(trainMatrix,trainCategory):    numTrainDocs = len(trainMatrix)    numWords = len(trainMatrix[0])    pAbusive = sum(trainCategory)/float(numTrainDocs)    p0Num = ones(numWords);p1Num = ones(numWords)#计算频数初始化为1    p0Denom = 2.0;p1Denom = 2.0                  #即拉普拉斯平滑    for i in range(numTrainDocs):        if trainCategory[i]==1:            p1Num += trainMatrix[i]            p1Denom += sum(trainMatrix[i])        else:            p0Num += trainMatrix[i]            p0Denom += sum(trainMatrix[i])    p1Vect = log(p1Num/p1Denom)#注意    p0Vect = log(p0Num/p0Denom)#注意    return p0Vect,p1Vect,pAbusive#返回各类对应特征的条件概率向量                                 #和各类的先验概率

分类：

def classifyNB(vec2Classify,p0Vec,p1Vec,pClass1):    p1 = sum(vec2Classify * p1Vec) + log(pClass1)#注意    p0 = sum(vec2Classify * p0Vec) + log(1-pClass1)#注意    if p1 > p0:        return 1    else:        return 0def testingNB():#流程展示    listOPosts,listClasses = loadDataSet()#加载数据    myVocabList = createVocabList(listOPosts)#建立词汇表    trainMat = []    for postinDoc in listOPosts:        trainMat.append(bagOfWord2VecMN(myVocabList,postinDoc))    p0V,p1V,pAb = trainNB0(trainMat,listClasses)#训练    #测试    testEntry = ['love','my','dalmation']    thisDoc = bagOfWord2VecMN(myVocabList,testEntry)    print testEntry,'classified as: ',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb)注意：上述代码中标有注意的地方，是公式中概率连乘变成了对数概率相加。此举可以在数学上证明不会影响分类结果，且在实际计算中，避免了因概率因子远小于1而连乘造成的下溢出。