连续投出两枚硬币的平均次数

假设有一个硬币，抛出字（背面）和花（正面）的概率都是0.5，而且每次抛硬币与前次结果无关。现在做一个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为止，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，一旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了，不用继续抛。

首先抛一枚硬币，如果是花，则需要重新开始，这件事发生的概率为0.5；如果是字，那么再抛一次硬币，如果是花，则需要重新开始，这件事发生的概率为0.5*0.5，如果还是字，则结束游戏，这件事发生的概率为0.5*0.5；设抛硬币的期望次数为T

T=0.5(1+T)+0.5*0.5(1+1+T)+0.5*0.5(1+1)     得T=6

现在对每一项进行解释：

0.5(1+T)：第一次是反面，1就是指投出的反面，T是指回退到最初始的状态，重新开始

0.5*0.5(1+1+T)：第一次正面，第二次是反面，两个1分别对应正和反，T是指回退到最初始的状态，重新开始

0.5*0.5(1+1)：连续两次是正面，两个1对应连续的两个正面

现在来考虑需要连续抛出n次字的情况。

和上面的想法一样，首先抛一枚硬币，如果是花，则需要重新开始，这件事发生的概率为0.5；如果是字，那么再抛一次硬币，如果是花，则需要重新开始，这件事发生的概率为0.5*0.5，如果还是字，那么再抛一次硬币，如果是花，则需要重新开始，这件事发生的概率为0.5*0.5*0.5,如果还是字，那么再抛一次硬币，如果是花，则需要重新开始，这件事发生的概率为0.5^4……以此类推下去，直至出现n次字，则结束游戏，这件事发生的概率为0.5^n；设抛硬币的期望次数为Tn

Tn=0.5*(1+Tn)+0.5^2*(2+Tn)+0.5^3(3+Tn)+……+0.5^n*(n+Tn)+0.5^n*n      得Tn=2^(n+1)-2