线段树总结

                                                                                                  线段树总结

本文借鉴了一位大佬的博客：原博客链接

一.线段树

线段树，类似区间树，它在各个结点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(logn)。

线段树的每个结点表示一个区间，子结点则分别表示父结点的左半区间和右半区间，例如父亲的区间是[a,b]，那么(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]。

以动态范围最小值问题为例。给出一个有n个元素的数组A1，A2，...，An，你的任务是设计一个数据结构，支持以下两种操作：1.update（x，v）：把Ax修改为v；2.query（L，R）：计算min{AL，AL+1，...，AR}

可以用线段树来解决这个问题：预处理耗时O(n)，查询、更新操作O(logn)，需要额外的空间O(n)。根据这个问题我们构造如下的二叉树

• 叶子结点是原始组数arr中的元素
• 非叶子结点代表它的所有子孙叶子结点所在区间的最小值

例如对于数组[2, 5, 1, 4, 9, 3]可以构造如下的二叉树（背景为白色表示叶子结点，非叶子结点的值是其对应数组区间内的最小值，例如根结点表示数组区间arr[0...5]内的最小值是1）：     

每个非叶子结点都有左右两棵子树，分别对应线段的左半和右半区间。这里的根结点标号为0（其实为了方便，也可以按照从上到下、从左到右的顺序给所有结点编号为1，2，3...，则编号为i的结点，其左右儿子的编号分别为2i和2i+1，但是以下模板还是按照根结点为0的情况给出）

二.建树

定义包含n个节点的线段树 SegTreeNode segTree[n]，segTree[0]表示根结点。那么对于结点segTree[i]，它的左孩子是segTree[2*i+1],右孩子是segTree[2*i+2]。

从根节点开始，平分区间，递归的创建线段树

模板：

const int MAXNUM = 1000;struct SegTreeNode{    int val;} segTree[MAXNUM*4]; //定义线段树/*功能：构建线段树root：当前线段树的根节点下标 arr: 用来构造线段树的数组 istart：数组的起始位置 iend：数组的结束位置 */void build(int root, int arr[], int istart, int iend){    if(istart == iend)//叶子节点        segTree[root].val = arr[istart];    else    {        int mid = (istart + iend) / 2;        build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树        build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树        //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值        segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);    }}

三.查询

查询的思想是选出一些区间，使他们相连后恰好涵盖整个查询区间，因此线段树适合解决“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”的问题。

模板：

/* 功能：线段树的区间查询 root：当前线段树的根节点下标 [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间 [qstart, qend]: 此次查询的区间 */int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend){    //查询区间和当前节点区间没有交集    if(qstart > nend || qend < nstart)        return INFINITE;    //当前节点区间包含在查询区间内    if(qstart <= nstart && qend >= nend)        return segTree[root].val;    //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值    int mid = (nstart + nend) / 2;    return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),               query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));}

举例说明（对照上面的二叉树）：

1、当我们要查询区间[0,2]的最小值时，从根结点开始，要分别查询左右子树，查询左子树时节点区间[0,2]包含在查询区间[0,2]内，返回当前节点的值1，查询右子树时，节点区间[3,5]和查询区间[0,2]没有交集，返回正无穷INFINITE，查询结果取两子树查询结果的较小值1，因此结果是1.

2、查询区间[0,3]时，从根结点开始，查询左子树的结点区间[0,2]包含在区间[0,3]内，返回当前结点的值1；查询右子树时，继续递归查询右子树的左右子树，查询到非叶结点4时，又要继续递归查询：叶子结点4的结点区间[3,3]包含在查询区间[0,3]内，返回4，叶子结点9的结点区间[4,4]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶结点4返回的是min(4, INFINITE) = 4，叶子结点3的结点区间[5,5]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶结点3返回min(4, INFINITE) = 4, 因此根结点返回 min(1,4) = 1。

四.单节点更新

单节点更新是指只更新线段树的某个叶子节点的值，但是更新叶子节点会对其父节点的值产生影响，因此更新子节点后，要回溯更新其父节点的值。
模板：

/* 功能：更新线段树中某个叶子节点的值 root：当前线段树的根节点下标 [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间 index: 待更新节点在原始数组arr中的下标 addVal: 更新的值（原来的值加上addVal） */void updateOne(int root, int nstart, int nend, int index, int addVal){    if(nstart == nend)    {        if(index == nstart)//找到了相应的节点，更新之            segTree[root].val += addVal;        return;    }    int mid = (nstart + nend) / 2;    if(index <= mid)//在左子树中更新        updateOne(root*2+1, nstart, mid, index, addVal);    else updateOne(root*2+2, mid+1, nend, index, addVal);//在右子树中更新    //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值    segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);}

比如我们要更新叶子结点4（addVal = 6）,更新后值变为10，那么其父结点的值从4变为9，非叶结点3的值更新后不变，根结点更新后也不变。
五.区间更新

区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值，因为涉及到的叶子节点不止一个，而叶子节点会影响其相应的非叶父节点，那么回溯需要更新的非叶子节点也会有很多，如果一次性更新完，操作的时间复杂度肯定不是O(lgn)，例如当我们要更新区间[0,3]内的叶子节点时，需要更新出了叶子节点3,9外的所有其他节点。为此引入了线段树中的延迟标记概念，这也是线段树的精华所在。

延迟标记：每个节点新增加一个标记，记录这个节点是否进行了某种修改(这种修改操作会影响其子节点)，对于任意区间的修改，我们先按照区间查询的方式将其划分成线段树中的节点，然后修改这些节点的信息，并给这些节点标记上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个节点p，并且决定考虑其子节点，那么我们就要看节点p是否被标记，如果有，就要按照标记修改其子节点的信息，并且给子节点都标上相同的标记，同时消掉节点p的标记。

因此需要在线段树结构中加入延迟标记域，本文例子中我们加入标记与addMark，表示节点的子孙节点在原来的值的基础上加上addMark的值，同时还需要修改创建函数build 和 查询函数 query，修改的代码用红色字体表示，其中区间更新的函数为update。

模板：

const int INFINITE = INT_MAX;const int MAXNUM = 1000;struct SegTreeNode{    int val;    int addMark;//延迟标记}segTree[MAXNUM];//定义线段树/*功能：构建线段树root：当前线段树的根节点下标arr: 用来构造线段树的数组istart：数组的起始位置iend：数组的结束位置*/void build(int root, int arr[], int istart, int iend){    segTree[root].addMark = 0;//----设置标延迟记域    if(istart == iend)//叶子节点        segTree[root].val = arr[istart];    else    {        int mid = (istart + iend) / 2;        build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树        build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树        //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值        segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);    }}/*功能：当前节点的标志域向孩子节点传递root: 当前线段树的根节点下标*/void pushDown(int root){    if(segTree[root].addMark != 0)    {        //设置左右孩子节点的标志域，因为孩子节点可能被多次延迟标记又没有向下传递        //所以是 “+=”        segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark;        segTree[root*2+2].addMark += segTree[root].addMark;        //根据标志域设置孩子节点的值。因为我们是求区间最小值，因此当区间内每个元        //素加上一个值时，区间的最小值也加上这个值        segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark;        segTree[root*2+2].val += segTree[root].addMark;        //传递后，当前节点标记域清空        segTree[root].addMark = 0;    }}/*功能：线段树的区间查询root：当前线段树的根节点下标[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间[qstart, qend]: 此次查询的区间*/int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend){    //查询区间和当前节点区间没有交集    if(qstart > nend || qend < nstart)        return INFINITE;    //当前节点区间包含在查询区间内    if(qstart <= nstart && qend >= nend)        return segTree[root].val;    //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值    pushDown(root); //----延迟标志域向下传递    int mid = (nstart + nend) / 2;    return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),               query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));}/*功能：更新线段树中某个区间内叶子节点的值root：当前线段树的根节点下标[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间[ustart, uend]: 待更新的区间addVal: 更新的值（原来的值加上addVal）*/void update(int root, int nstart, int nend, int ustart, int uend, int addVal){    //更新区间和当前节点区间没有交集    if(ustart > nend || uend < nstart)        return ;    //当前节点区间包含在更新区间内    if(ustart <= nstart && uend >= nend)    {        segTree[root].addMark += addVal;        segTree[root].val += addVal;        return ;    }    pushDown(root); //延迟标记向下传递    //更新左右孩子节点    int mid = (nstart + nend) / 2;    update(root*2+1, nstart, mid, ustart, uend, addVal);    update(root*2+2, mid+1, nend, ustart, uend, addVal);    //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值    segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);}