mancher入门-- mancher模板+解释

一：背景

  给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：
  （1）s="abcd",最长回文长度为 1；
  （2）s="ababa",最长回文长度为 5；
  （3）s="abccb",最长回文长度为 4，即 bccb。
  以上问题的传统思路大概是，遍历每一个字符，以该字符为中点向两边查找。其时间复杂度为$O(n^2)$，很不高效。而在1975年，一个叫Manacher的人发明了一个算法，Manacher算法，也称马拉车算法，该算法可以把时间复杂度提升到$O(n)$。下面来看看马拉车算法是如何工作的。

二：算法过程分析

  由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，在字符间插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）。举个例子：s="abbahopxpo"，转换为s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（这里的字符 $ 只是为了防止越界，下面代码会有说明），如此，s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo，被转换为#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。
  定义一个辅助数组int p[]，p[i]表示以s_new[i]为中心的最长回文的半径，例如：

i0123456789101112131415161718192021s_new[i]$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#p[i] 121452121212121612121

可以看出，p[i]-1正好是原字符串中最长回文串的长度。
  Manacher算法之所以快，就快在对 p 数组的求法上有个捷径。在我们解决了奇偶回文的繁琐时，剩下的难点就是求 p 数组，按照普通思维，我们是这样求解的：求解p[i]，先初始化p[i]=1，再以s_new[i]为中心判断两边是否相等，相等就p[i]++。这就是普通的思维，但是我们想想，能否让p[i]的初始化不是 1，让它更大点，看下图：

  设置两个变量，mx 和 id 。
  mx 代表以s_new[id]为中心的最长回文最右边界，也就是mx=id+p[id]。
  假设我们现在求p[i]，也就是以s_new[i]为中心的最长回文半径，如果i<mx，如上图，那么：

 if (i < mx)              p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id -i其实就是等于 j ，p[j]表示以s_new[j]为中心的最长回文半径，见上图，因为 i 和 j 关于 id 对称，我们利用p[j]来加快查找。

三：代码

/** *  * author 刘毅（Limer） * date   2017-02-25 * mode   C++  */#include<iostream>  #include<string.h>#include<algorithm>  using namespace std;char s[1000];char s_new[2000];int p[2000];int Init(){    int len = strlen(s);    s_new[0] = '$';    s_new[1] = '#';    int j = 2;    for (int i = 0; i < len; i++)    {        s_new[j++] = s[i];        s_new[j++] = '#';    }    s_new[j] = '\0';  //别忘了哦      return j;  //返回s_new的长度  }int Manacher(){    int len = Init();  //取得新字符串长度并完成向s_new的转换      int maxLen = -1;   //最长回文长度      int id;    int mx = 0;    for (int i = 1; i < len; i++)    {        if (i < mx)            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);  //需搞清楚上面那张图含义, mx和2*id-i的含义        else            p[i] = 1;        while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  //不需边界判断，因为左有'$',右有'\0'              p[i]++;        if (mx < i + p[i])  //我们每走一步i，都要和mx比较，我们希望mx尽可能的远，这样才能更有机会执行if (i < mx)这句代码，从而提高效率          {            id = i;            mx = i + p[i];        }        maxLen = max(maxLen, p[i] - 1);    }    return maxLen;}int main(){    while (printf("请输入字符串：\n"))    {        scanf("%s", s);        printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());    }    return 0;}

四：算法复杂度分析

  文章开头已经提及，Manacher算法为线性算法，即使最差情况下其时间复杂度亦为$O(n)$，在进行证明之前，我们还需要更加深入地理解上述算法过程。
  定义 mx 为以s_new[id]为中心的最长回文最右边界，也就是mx=id+p[id]。j 与 i 关于 id 对称，根据回文的性质，p[i]的值基于以下三种情况得出：
  （1）j 的回文串有一部分在 id 的之外，如下图：

上图中，黑线为 id 的回文，i 与 j 关于 id 对称，红线为 j 的回文。那么根据代码此时p[i]=mx-i，即紫线。那么p[i]还可以更大么？答案是不可能！见下图：

假设右边新增的紫色部分是p[i]可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 d ，也就是说 id 的回文不仅仅是黑线，而是黑线+两条紫线，矛盾，所以假设不成立，故p[i]=mx-i，不可以再增加一分。
  （2）j 回文串全部在 id 的内部，如下图：

此时p[i]=p[j]，那么p[i]还可以更大么？答案亦是不可能！见下图：

假设右边新增的红色部分是p[i]可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 b ，，也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ，矛盾，所以假设不成立，故p[i]=p[j]，也不可以再增加一分。
  （3）j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合，见下图：

此时p[i]=p[j]或p[i]=mx-i，并且p[i]还可以继续增加，所以需要

while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])     p[i]++;

  根据（1）（2）（3），很容易推出Manacher算法的最坏情况，即为字符串内全是相同字符的时候。在这里我们重点研究Manacher（）中的for语句，推算发现for语句内平均访问每个字符5次，即时间复杂度为：$T_{worst}(n)=O(n)$。
  同理，我们也很容易知道最佳情况下的时间复杂度（最佳情况即字符串内字符各不相同）。推算得平均访问每个字符4次，即时间复杂度为：$T_{best}(n)=O(n)$。
  综上，Manacher算法的时间复杂度为$O(n)$。

下面是我调试的过程：

#include<iostream>#include<string.h>#include<iomanip>#include<string>using namespace std;char s[1000],s_new[1000];int p[2000];int i,j,k;int init(){int len=strlen(s);s_new[0]='$';s_new[1]='#';int j=2;for(i=0;i<len;i++){s_new[j++]=s[i];s_new[j++]='#';}s_new[j]='\0';cout<<"构成的字符串为:"<<endl;cout<<setw(8)<<"序列号p[i]:";for(i=0;i<j;i++)cout<<setw(4)<<i<<" ";cout<<endl;cout<<setw(8)<<"字符串:    ";for(i=0;i<j;i++)cout<<setw(4)<<s_new[i]<<" ";cout<<endl<<endl;return j;}int mancher(){int len=init();  //取得新字符串长度并完成向s_new的转换int maxlen=-1;  //最长回文长度int id;int mx=0;for(i=1;i<len;i++){if(i<mx){p[i]=min(p[2*id-i],mx-i);cout<<"if(i<mx)p[i]="<<p[i]<<"     mx="<<mx<<"   i="<<i<<endl;}        else{p[i]=1;cout<<"if(i>mx)="<<p[i]<<"     mx="<<mx<<"   i="<<i<<endl;}cout<<"判断中和两边:"<<p[i];while(s_new[i-p[i]]==s_new[i+p[i]])//无需边界判断{p[i]++;cout<<" "<<p[i];}cout<<endl;if(mx<i+p[i]) //我们每走一步i 都要和mx比较 我们希望mx尽可能原，这样猜能更有机会执行 if(i<mx)这个语句 从而提升他效率{id=i;  //将当前的中心设置为 imx=i+p[i]; //mx则为当前为中心回文串的右边界cout<<"    mx<p[i]+i     当前更新 mx="<<mx<<"    中心 id="<<id<<endl;}maxlen=max(maxlen,p[i]-1);cout<<"当前的回文cd:"<<p[i]<<"      真正的cd:"<<p[i]-1<<"      更新过的cd:"<<maxlen<<endl;cout<<endl;}return maxlen;}int main(){while(cout<<"请输入字符串:"<<endl){cin>>s;int cd=mancher();cout<<cd<<endl<<endl;}return 0;}