hdu 3440 House Man

https://vjudge.net/problem/HDU-3440

题意：

一个超人，他可以一个从一栋楼跳到另一栋楼。有一天，他为了加强技能，准备跳一系列的楼，他每次都从低的楼，跳到高的楼。他从最低的楼开始跳，但是他跳的水平距离是有限制的。

但是因为他是超人，所以他可以任意移动楼，而且他想他开始跳的楼与最后跳到的楼的距离最大。

他移动楼的时候有某些限制：

1.移动之后的楼的排列顺序必须与输入的顺序相同。

2.必须满足水平跳跃的距离的限制。

求这个最大距离，如果跳不到的话，输出-1。

思路：

首先，超人跳的每栋楼的是按照高度递增的顺序来的，比如说i,j是高度相邻的两栋楼，那么两栋楼之间的距离肯定得满足|xi - xj| <= d（限制），然后因为每栋楼之间的距离肯定是大于等于1的，所以Xi+1 - Xi >= 1，所以我们就可以找出一系列的不等式。我们需要通过这一系列的不等式找出加入最低的下标为u，最高的下标为v，那么就是|Xu-Xv|的最大值，这样的问题其实是一类叫做差分约束系统的问题。

差分约束系统是由最短路的松弛条件d[v] >= d[u] + w(u,v) 得来的，假设有不等式 Xi - Xj <= len，变形得到 Xi <= Xj + len，这样就和最短路的松弛条件近似了，虽然说一个是大于等于，一个是小于等于，但是本质其实是一样的，可以看成d[i] <= d[j] + w(j,i)，那么此时就可以建一条从j到i的边，然后求出目标不等式的最大值，即相当于求图中的最短路。

为什么是最短路呢？比如有a - b <= 3 ,b - c <= 5,a - c <= 10，此时如果要求a - c的最大值，可以轻易地看出最大值是8，即是图中的a到c的最短路，而不是10，本质是求所有不等式的交集，按照差分的约束条件 <= ，那么就是求最小的那个。

还剩一个问题就是有没有可能出现无解的情况，那就是图中出现了负环，最短路可以无穷小，此时当然就无解了，比如b - a <= -3,c - b <= 2 ,a - c <= -5，那么此时就是一个负环，此时求c - a的最小值，有c - a <= -1,c - a >= 5，此时就矛盾了，不存在最小值。

ok，回过来看这道题，根据题中的|xi - xj| <= d，我们可以建图，去掉绝对值的方法就是边从下标小的点指向下标大的点，因为输入的楼之间是有先后顺序的，之后因为每栋楼之间的距离必须大于等于1，所以Xi+1 - Xi >= 1（上面提到了，之后跑图的话，就用spfa，因为dij无法判断途中是否存在负环，spfa判断途中是否存在负环的条件是一个点入队的次数大于了n。

代码：

  1 #include <stdio.h>  2 #include <string.h>  3 #include <vector>  4 #include <queue>  5 #include <algorithm>  6 using namespace std;  7   8 struct edge  9 { 10     int from,to; 11     int w; 12  13     edge(){}; 14     edge(int x,int y,int z) 15     { 16         from = x; 17         to = y; 18         w = z; 19     } 20 }; 21  22 struct node 23 { 24     int hei; 25     int id; 26  27     bool operator < (const node &rhs) const 28     { 29         return this -> hei < rhs.hei; 30     } 31 } h[1005]; 32  33 vector<edge> edges; 34 vector<int> v[1005]; 35  36 void init(int n) 37 { 38     edges.clear(); 39  40     for (int i = 0;i <= n;i++) 41         v[i].clear(); 42 } 43  44 void adde(int from,int to,int w) 45 { 46     edge e = edge(from,to,w); 47  48     edges.push_back(e); 49  50     int sz = edges.size(); 51  52     v[from].push_back(sz - 1); 53 } 54  55 bool vis[1005]; 56 int d[1005]; 57 int cnt[1005]; 58 const int inf = 0x3f3f3f3f; 59  60 bool spfa(int s,int n) 61 { 62     memset(vis,0,sizeof(vis)); 63     memset(d,inf,sizeof(d)); 64     memset(cnt,0,sizeof(cnt)); 65  66     vis[s] = 1; 67     cnt[s] = 1; 68  69     queue<int> q; 70  71     q.push(s); 72  73     d[s] = 0; 74  75     while (!q.empty()) 76     { 77         int cur = q.front(); 78         q.pop(); 79  80         vis[cur] = 0; 81  82         for (int i = 0;i < v[cur].size();i++) 83         { 84             int id = v[cur][i]; 85  86             int to = edges[id].to; 87  88             if (d[to] > d[cur] + edges[id].w) 89             { 90                 d[to] = d[cur] + edges[id].w; 91  92                 if (!vis[to]) 93                 { 94                     q.push(to); 95                     vis[to] = 1; 96                     cnt[to]++; 97  98                     if (cnt[to] > n) return 1; 99                 }100             }101         }102     }103 104     return 0;105 }106 107 int main()108 {109     int t;110     int cas = 0;111 112     scanf("%d",&t);113 114     while (t--)115     {116         printf("Case %d: ",++cas);117 118         int n,dis;119 120         scanf("%d%d",&n,&dis);121 122         init(n);123 124         for (int i = 1;i <= n;i++)125         {126             scanf("%d",&h[i].hei);127             h[i].id = i;128         }129 130         for (int i = 1;i < n;i++)131         {132             adde(i+1,i,-1);133         }134 135         sort(h+1,h+n+1);136 137         for (int i = 1;i < n;i++)138         {139             int x = min(h[i].id,h[i+1].id);140             int y = max(h[i].id,h[i+1].id);141             adde(x,y,dis);142         }143 144         int s = min(h[1].id,h[n].id);145         int en = max(h[1].id,h[n].id);146 147         bool f = spfa(s,n);148 149         if (f) printf("-1\n");150         else printf("%d\n",d[en]);151     }152 153     return 0;154 }