poj3070 矩阵乘法求斐波拉契

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【题目描述】

    我们知道斐波那契数列0 1 1 2 3 5 8 13……

    数列中的第i位为第i-1位和第i-2位的和（规定第0位为0，第一位为1）。

    求斐波那契数列中的第n位mod 10000的值。

 

【分析】

    这是我们熟悉的斐波那契数列，原来呢我们是递推求值的嘛，当然这是最水的想法~~可是！这里的n很大诶，有10^9，for一遍肯定是不可以的咯。

    于是，我学会了用矩阵乘法求斐波那契数列（貌似是很经典的）。

    作为初学者的我觉得十分神奇！！

    好，我们来看：

    我们每次存两个数f[i-1]和f[i-2]，表示数列中的第i-1个数和第i-2的数，如何用这两个数推出我们下一次要存的两个数f[i]和f[i-1]呢，嗯，题目已经说得很清楚了：

        f[i-1]=f[i-1]

        f[i]=f[i-1]+f[i-2]

    可能你会觉得第一句有一点废话，但是是有不一样的意义的，这体现了递推的过程，就是说我们每次扫两个数，根据前面的两个数推出后面的两个数，这个思想在后面我做的一题——poj3734中有更好的体现。根据这个我们可以建一个2*2的矩阵A

1110

    然后把我们每次存的两个数放在另一个矩阵B里面：

f[i-1]f[i-2]

    那么把这两个矩阵相乘就可以得到另一个矩阵：

f[i]f[i-1]

    这样就可以得到f[i]了，至于为什么乘了之后会变成这两个数，我们根据矩阵乘法的乘法规律可以很容易推出来。

这样子的话，我们每次用A*B替换B，最后得到的矩阵的第一个数就是f[n]了。

 

    那么，矩阵乘法的优越性究竟体现在哪里呢。其实，矩阵乘法只是体现了我们从之前求的数到现在要求的数的递推过程，就是说矩阵乘法可以完成多个元素的递推。不过这个我们用普通的递推就可以实现的啊~~认真想想我们就能发现，我们在矩阵乘法的过程中把上见面的A矩阵自己相乘了很多遍。就是说，我们可以求A矩阵的幂最后乘上B矩阵，既然要求幂，矩阵乘法满足结合律，那么我们就可以用快速幂啦~~矩阵乘法的优越性就体现在这里：在递推过程变成不断乘以一个矩阵，然后用快速幂快速求得从第一个到第n个的递推式，这样子就可以在短时间内完成递推了。

    哇塞，人类的智商啊~~让我们继续膜拜那些智商正无穷的大神吧，orz，orz……

 

    之前写的快速幂都是递归式的，现在终于学会新的快速幂写法，纪念一下：

while(n){    if(n&1) b=a*b;        a=a*a;    n>>=1;}

  为什么这样打快速幂可以呢，把指数换成二进制想一想，就可以发现了。

 

    接下来贴代码，结构体真心好用，代码好看多了~~嗯...另外做题目的时候要注意细节！！

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#define Mod 10000struct node{    int v[3][3];    int m,l;};node get_mul(node a,node b){    node c;    c.m=a.m;c.l=b.l;    for(int i=1;i<=c.m;i++)      for(int j=1;j<=c.l;j++)      {          c.v[i][j]=0;          for(int k=1;k<=a.l;k++)              c.v[i][j]=(c.v[i][j]+a.v[i][k]*b.v[k][j])%Mod;      }    return c;}int main(){    freopen("a.in","r",stdin);    freopen("a.out","w",stdout);    int n;    while(1)    {        scanf("%d",&n);        if(n==0) {printf("0\n");continue;}        if(n==-1) break;        node a,b,c;        a.m=a.l=2,a.v[1][1]=1,a.v[1][2]=1,a.v[2][1]=1,a.v[2][2]=0;        b.m=b.l=2,b.v[1][1]=1,b.v[1][2]=0,b.v[2][1]=0,b.v[2][2]=1;        c.m=2,c.l=1,c.v[1][1]=1,c.v[2][1]=0;        n--;        while(n)        {            if(n&1) b=get_mul(a,b);            a=get_mul(a,a);            n>>=1;        }        b=get_mul(b,c);        printf("%d\n",b.v[1][1]);    }    return 0;}poj3070