Pillai's arithmetic function 算法实现 --------------------------------附 河南省2017多校联萌5

Pillai's arithmetic function

定义：求前n个数分别和n的最大公约数的和。详细见维基百科（下图）

那么如何高效求出函数值P(n)呢？且n很大，例如 n := 1:1e11。（取10^11是为了秒出结果，因为开方后不超过百万）

这个数论问题，具体实现需要用到因数分解，线性素数筛，质因数分解，欧拉函数，也得知道这个公式。

1、先因数分解，我算了下，10^11的因数才只有144个。

2、然后就是求单个欧拉数，不可能用线性欧拉筛，存不下，也没时间。只能需要哪个求哪个（在线算法）。

单个欧拉数求法，直接用定义。百度百科：

3、要快速求出欧拉数，就需要质因数分解，求出素因数。这求需要线性素数筛求p[i].虽然n很大，但是开方一次就不过百万了。

4、得到素因数，进而求出欧拉数，再进而求出 Pillai's arithmetic function 值。

输入n；输出 P[n]。（ Pillai's arithmetic function ）

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include <cstdio>#include <vector>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;long long v[150]; //1e11const int N = 320000;bool vis[N + 1];int p[27610], cnt_p; //存素数  27608int getPrime(int n) {memset(vis, 1, sizeof vis);int cnt = 0;for (int i = 2; i <= n; ++i) {if (vis[i]) p[cnt++] = i;for (int j = 0; j < cnt && (i * p[j] <= n); ++j) {vis[i * p[j]] = 0;if (i % p[j] == 0) break;}}return cnt;}vector <long long> work(long long num) {vector<long long> vec;for (int i = 0; i < cnt_p; ++i) {if (num % p[i] == 0) {vec.push_back(p[i]);while (num % p[i] == 0) num /= p[i];}if (num <= 1) break;} //得到了素因数if (num > 1) vec.push_back(num);return vec;}long long phi(long long n) {long long res = n;vector<long long> v = work(n);for (int i = 0; i < v.size(); ++i) {res = res / v[i] * (v[i] - 1);}return res;}int main(){cnt_p = getPrime(N);//cout << phi(37) << endl;long long n;while (~scanf("%lld", &n)) {if (n <= 1) { printf("%lld\n", n); continue; }long long m = sqrt(n + 0.5), sz = 0;v[sz++] = 1;for (int i = 2; i <= m; ++i) {if (n % i == 0) {v[sz++] = i;//存因数v[sz++] = n / i;}}if (m * m == n) sz--; if (n > 1) v[sz++] = n;long long res = 0;for (int i = 0; i < sz; ++i) {res += v[i] * phi(n / v[i]);}printf("%lld\n", res);}return 0;}

河南省2017多校联萌五

上面介绍的是A题。

B题是调和级数求和。当n不大时，直接用定义，当n足够大时，精度变化就不大了，直接用近似算法:

sum(n) = log(n + 0.5) + phi; // constdoublephi = 0.57721566490153286060651209;

C题二分，注意结果要求尽量小，所以结果只可能以5或0结尾。

H题，最小生成树。prim算法或者kruskal算法。我用的kruskal算法。

D题过的人也不少，我卡死在了A题。因为质因数筛选时边界问题没处理好。打饭排队时想到的bug.