bzoj3732 Network（Kruskal重构树）

Description

给你N个点的无向图 (1 <= N <= 15,000)，记为：1…N。
图中有M条边 (1 <= M <= 30,000) ，第j条边的长度为： d_j ( 1 < = d_j < = 1,000,000,000).

现在有 K个询问 (1 < = K < = 20,000)。
每个询问的格式是：A B，表示询问从A点走到B点的所有路径中，最长的边最小值是多少？

Input

第一行： N, M, K。
第2..M+1行: 三个正整数：X, Y, and D (1 <= X <=N; 1 <= Y <= N). 表示X与Y之间有一条长度为D的边。
第M+2..M+K+1行: 每行两个整数A B,表示询问从A点走到B点的所有路径中，最长的边最小值是多少？

Output

对每个询问，输出最长的边最小值是多少。

Sample Input
6 6 8
1 2 5
2 3 4
3 4 3
1 4 8
2 5 7
4 6 2
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
5 1
6 2
6 1

Sample Output
5
5
5
4
4
7
4
5

HINT
1 <= N <= 15,000
1 <= M <= 30,000
1 <= d_j <= 1,000,000,000
1 <= K <= 15,000

分析：
其实这道题的题意简化一下就是
在一个图中询问任意两点之间的路径
使得路径上的最大边最小

感觉这个题目似曾相识
没错就是货车运输

只要先建立一棵最小生成树
在树上跑lca就可以了

但是今天我们不要用这么low的算法
（没事找事）
我们就引进一种新的数据结构
kruskal重构树：

什么是kruskal重构树呢：
kruskal重构树是个挺好玩的东西
可以拿来处理一些最小生成树的边权最值问题
这里我们Kruskal连边时并不直接连边
而是新建一个节点x
将两个点所在子树都连到x的儿子上

这样生成的树有一些十分优美的性质：

1.二叉树(好吧意义不大)
2.原树与新树两点间路径上边权(点权)的最大值相等
3.子节点的边权小于等于父亲节点(大根堆)
4.原树中两点之间路径上边权的最大值等于新树上两点的LCA的点权

看图理解一下吧

看一下性质的体现：
1.不用说了
2.原树上2—>5:2,新树上也是
3.不用说了
4.1—>6:4
确认满足性质

那如果我们建出了kruskal重构树，处理询问只要找一下lca就可以了

那怎么构建kruskal重构树呢：
其实就像构建最小生成树一样
只不过并不直接连边
而是新建一个节点x
将两个点所在子树都连到x的儿子上

有点像并查集哈

tip

1A
这是我自己yy的写法，异常丑陋

这里写代码片#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;const int N=30005;int n,m,k;struct node{    int x,y,nxt;};node way[N<<2];struct nd{    int x,y,v;};nd e[N];int deep[N<<1],fa[N<<1],f[N<<1][20],lg,st[N<<1],tot=0,tt=0,z[N<<1];int cmp(const nd &a,const nd &b){    return a.v<b.v;}int find(int a)  //路径压缩 {    if (fa[a]!=a) fa[a]=find(fa[a]);    return fa[a];}void add(int u,int w){    tot++;    way[tot].x=u;way[tot].y=w;way[tot].nxt=st[u];st[u]=tot;    tot++;    way[tot].x=w;way[tot].y=u;way[tot].nxt=st[w];st[w]=tot;}void kruskal(){    int i,j,o=0;    tt=n;    for (i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;    for (i=1;i<=m;i++)    {        int f1=find(e[i].x);        int f2=find(e[i].y);        if (f1!=f2)        {            tt++;            add(f1,tt);   //连到新点上             add(f2,tt);            fa[tt]=tt;fa[f1]=tt;fa[f2]=tt;            z[tt]=e[i].v;  //记录点权            o++;         }        if (o==n-1) break;    }    lg=log(tt)/log(2);}void dfs(int x,int pa,int dep){    deep[x]=dep;    f[x][0]=pa;    for (int i=st[x];i;i=way[i].nxt)        if (way[i].y!=pa)            dfs(way[i].y,x,dep+1);}void cl(){    int i,j;    for (i=1;i<=lg;i++)        for (j=1;j<=tt;j++)            f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];}int lca(int u,int w){    if (deep[u]<deep[w]) swap(u,w);    int d=deep[u]-deep[w];    if (d)        for (int i=0;i<=lg&&d;i++,d>>=1)            if (d&1)                u=f[u][i];    if (u==w) return z[u];    for (int i=lg;i>=0;i--)        if (f[u][i]!=f[w][i])        {            u=f[u][i];w=f[w][i];        }    return z[f[u][0]];}int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);    for (int i=1;i<=m;i++)        scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].v);    sort(e+1,e+1+m,cmp);    kruskal();    dfs(tt,0,1);    cl();    for (int i=1;i<=k;i++)    {        int u,w;        scanf("%d%d",&u,&w);        printf("%d\n",lca(u,w));    }    return 0;}