校内胡测--8.26.2017 超级树

pdf上的没法复制粘贴…
无奈的手打qwq

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题目：

这道题貌似是某次CF的比赛题，但是没找到原题=。=
一颗k-超级树可以按照如下方法得到：取一棵深度为K的满二叉树，对每个节点，向他的所有祖先连边（如果这条边不存在的话）。例如，下图是一个4-超级树

现在，我们的任务是统计一棵k-超级树中有多少条每个节点最多经过一次的不同有向路径。两条路径被认为是不同的，当且仅当两条路径途经点不同或者经过节点顺序不同。由于答案可能很大，输出方案数对mod去模后的数。

输入&输出

输入一行两个数字，分别为K 和 mod
输出一行为方案数取模mod后的数

样例：

in1：1 10000000
out1：1

in2：2 10000000
out2：9

in3：3 10000000
out3：245

in4：4 10000000
out4：126565

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题解

放心吧这题，oeis是没有的hhhhh

说正事，这题，给的正解是dp。
dp[i][j]表示一棵i-超级树中选出j条不经过相同点路径的条数（这j条路径经过点的集合并集为空）
转移是这样的：
对于两颗i-超级树，他们合成为一棵（i+1）-超级树的时候，会出现一个新的树根，下面简称根。
令num = dp[i][lf] * dp[i][rg] ;
1.这个根什么也不干，直接合并

dp[i][lf+rg] += num//相当于是从左边选lf条边，右边选rg条边

2.这个根自己一个点作为一条新的路径

dp[i+1][lf+rg+1] += num

3.这个根他和左子树（或右子树）的任意一条边连接（随便连上哪一条是都是可以的，因为它是一棵超级树，根到所有节点都有边）

dp[i+1][lf+rg] += 2*num*(lf+rg);/*乘2是因为，我既可以接到首，又可以接到尾比如本来有一条是1->2->3现在可以是root->1->2->3或者是1->2->3->root*/

4.这个根连接了左右子树中各一条边

dp[i+1][lf+rg-1] += 2*num*lf*rg//乘2道理是一样的//乘lf*rg相当于是左右任选一种，乘法原理

5.这个根连接了左子树（或右子树）中两条边

dp[i+1][lf+rg-1] += 2*num*(C2[lf]+C2[rg])//其中，C2[i]表示的是C(i , 2 )

这样转移就完成了，最后答案就是DP[N][1]

但是我们会惊奇的发现，第二维根本开不下，如果强行要存下dp这个数组，第二维需要开(2^k)-1那么大（因为每个点都可以作为一条路径）。
但是仔细的观察DP方程，发现 ，由i转移到i+1时，第二维度只会-1，最多只会从(lf+rg)转移到(lf+rg-1)，那么，对dp[N][1]有贡献的，一定都在dp[i][N]之内。于是我们第二维只需要开到N就可以了

好了写完了，贴代码。

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这代码很慢

有很多地方还可以优化，可以动脑子想一想hhhh
这个代码刚好能卡时过，最后一个点1.000秒。

#include<ctime>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std ;long long N , mmod , C2[301];long long dp[301][301] ;int main(){    //freopen( "tree.in" , "r" , stdin ) ;    //freopen( "tree.out", "w" , stdout) ;    scanf ( "%I64d%I64d" , &N , &mmod ) ;    for( int i = 1 ; i <= 300 ; ++ i )        C2[i] = i*(i-1)/2 ;    dp[1][0] = dp[1][1] = 1 ;    for(int i = 1 ; i < N ; ++ i ){        for(int lf = 0 ; lf <= N ; ++ lf ){            for(int rg = 0 ; rg + lf <= N ; ++ rg ){                long long num = dp[i][lf] * dp[i][rg] %mmod ;                dp[i+1][lf+rg]   += num ; if( dp[i+1][lf+rg] >= mmod ) dp[i+1][lf+rg] -= mmod ;                dp[i+1][lf+rg+1] += num ; if( dp[i+1][lf+rg+1]>=mmod ) dp[i+1][lf+rg+1] -= mmod ;                dp[i+1][lf+rg]   = ( dp[i+1][lf+rg] + (num*(lf+rg)<<1) ) % mmod ;                dp[i+1][lf+rg-1] = ( dp[i+1][lf+rg-1] + (num*lf*rg<<1) ) % mmod ;                dp[i+1][lf+rg-1] = ( dp[i+1][lf+rg-1] + (num*(C2[lf]+C2[rg])<<1) ) % mmod ;            }        }    }    printf("%I64d" , dp[N][1] % mmod ) ;    return 0 ;}