Java实现二叉树的定义和递归实现

定义

最多有两棵子树的有序树，称为二叉树。二叉树是一种特殊的树。

递归定义：二叉树是n(n>=0)个有限结点构成的集合。N=0称为空二叉树；n>0的二叉树由一个根结点和两互不相交的，分别称为左子树和右子树的二叉树构成。

二叉树中任何结点的第1个子树称为其左子树，左子树的根称为该结点的左孩子；二叉树中任何结点的第2个子树称为其右子树，左子树的根称为该结点的右孩子。如下图是一个二叉树：

图1.二叉树

满二叉树和完全二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且叶子结点都在同一层上，这样的二叉树称作满二叉树。一棵深度为k且由2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。

如果一棵具有n个结点的二叉树的结构与满二叉树的前n个结点的结构相同，这样的二叉树称作完全二叉树。

图2. 满二叉树和完全二叉树

基本性质

这里规定二叉树的根结点的层次为1。

性质1：则二叉树的第i 层最多有2i-1个结点（在此二叉树的层次从1开始，i≥1）

性质2：深度为k的二叉树最多有2^k-1个结点。(k≥1)

性质3：对任何一棵二叉树T, 如果其叶结点个数为n0, 度为2的非叶结点个数为n₂, 则有

             n0 = n₂ + 1

性质4：具有 n(n>0)个结点的完全二叉树的深度为⎣log₂n⎦+1；⎦x⎦表示不超过x的最大整数。

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第1层到第⎣l og2n⎦ +1层，每层从左到右）,则对任一结点i（1≤i≤n),有：

(1)如果i=1，则结点i无双亲，是二叉树的根；如果i>1，则其双亲是结点⎣i/2⎦。

(2) 如果2i<=n, 则结点i的左孩子结点是2i；否则，结点i为叶子结点，无左孩子结点。

(3)如果2i＋1<=n，则结点i的右孩子是结点2i＋1; 否则，结点i为叶子结点，无右孩子结点。

抽象数据类型

数据元素：具有相同特性的数据元素的集合。

结构关系：树中数据元素间的结构关系由二叉树的定义确定。

基本操作：树的主要操作有

（1）创建树IntTree(&T)

（2）销毁树DestroyTree(&T)

（3）构造树CreatTree(&T，deinition)

（4）置空树ClearTree(&T)

（5）判空树TreeEmpty(T)

（6）求树的深度TreeDepth(T)

（7）获得树根Root(T)

（8）获取结点Value(T，cur_e，&e)，将树中结点cur_e存入e单元中。

（9）数据赋值Assign(T，cur_e，value)，将结点value，赋值于树T的结点cur_e中。

（10）获得双亲Parent(T，cur_e)，返回树T中结点cur_e的双亲结点。

（11）获得最左孩子LeftChild(T，cur_e)，返回树T中结点cur_e的最左孩子。

（12）获得右兄弟RightSibling(T，cur_e)，返回树T中结点cur_e的右兄弟。

（13）插入子树InsertChild(&T，&p，i，c)，将树c插入到树T中p指向结点的第i个子树之前。

（14）删除子树DeleteChild(&T，&p，i)，删除树T中p指向结点的第i个子树。

（15）遍历树TraverseTree(T，visit())

二叉树的实现

二叉树接口BTree

 

[java] view plaincopy

1. package datastructure.tree.btree;  
2.   
3. public interface BTree {  
4.     /** 
5.      * 添加左子树 
6.      * @param lChild 左子树 
7.      */  
8.     public void addLeftTree(BTree lChild);  
9.     /** 
10.      * 添加右子树 
11.      * @param rchild 右子树 
12.      */  
13.     public void addRightTree(BTree rchild) ;  
14.     /** 
15.      * 置空树 
16.      */  
17.     public void clearTree();  
18.     /** 
19.      * 求树的深度 
20.      * @return 树的深度 
21.      */  
22.     public int dept();  
23.     /** 
24.      * 求左孩子 结点 
25.      * @return 
26.      */  
27.     public BTree getLeftChild();  
28.       
29.     /** 
30.      * 求右孩子结点 
31.      * @return 
32.      */  
33.     public BTree getRightChild();  
34.     /** 
35.      * 获得根结点的数据 
36.      * @return 
37.      */  
38.     public Object getRootData();  
39.     /** 
40.      * 是否有左子树 
41.      * @return 
42.      */  
43.     public boolean hasLeftTree();  
44.     /** 
45.      * 是否有右子树 
46.      * @return 
47.      */  
48.     public boolean hasRightTree();  
49.     /** 
50.      * 判断是否为空树 
51.      * @return 如果为空，返回true,否则返回false 
52.      */  
53.     public boolean isEmpty();  
54.     /** 
55.      * 判断是否为叶子结点 
56.      * @return 
57.      */  
58.     public boolean isLeaf();  
59.     /** 
60.      * 删除左子树 
61.      */  
62.     public void removeLeftChild();  
63.     /** 
64.      * 删除右子树 
65.      */  
66.     public void removeRightChild();  
67.     /** 
68.      * 获得树根 
69.      * @return 树的根 
70.      */  
71.     public BTree root();  
72.     /** 
73.      * 设置根结点的数据 
74.      */  
75.     public void setRootData(Object data);  
76.     /** 
77.      * 求结点数 
78.      * @return 结点的个数  
79.      */  
80.     public int size();  
81. }  

二叉链表的实现

[java] view plaincopy

1. package datastructure.tree.btree;  
2.   
3. public class LinkBTree implements BTree {  
4.     private Object data;  
5.     private BTree lChild;  
6.     private BTree rChild;  
7.       
8.     public LinkBTree() {  
9.         this.clearTree();  
10.     }  
11.     public LinkBTree(Object data) {  
12.         this.data = data;  
13.         this.lChild = null;  
14.         this.rChild = null;  
15.     }  
16.     @Override  
17.     public void addLeftTree(BTree lChild) {  
18.         this.lChild = lChild;  
19.     }  
20.   
21.     @Override  
22.     public void addRightTree(BTree rChild) {  
23.         this.rChild = rChild;  
24.     }  
25.   
26.     @Override  
27.     public void clearTree() {  
28.         this.data = null;  
29.         this.lChild = null;  
30.         this.rChild = null;  
31.     }  
32.   
33.     @Override  
34.     public int dept() {  
35.         return dept(this);  
36.     }  
37.       
38.     private int dept(BTree btree) {  
39.         if(btree.isEmpty()) {  
40.             return 0;  
41.         }else if(btree.isLeaf()) {  
42.             return 1;  
43.         } else {  
44.             if(btree.getLeftChild() == null) {  
45.                 return dept(btree.getRightChild()) + 1;  
46.             } else if(btree.getRightChild() == null) {  
47.                 return dept(btree.getLeftChild()) + 1;  
48.             } else {  
49.                 return Math.max(dept(btree.getLeftChild()), dept(btree.getRightChild()))+1;  
50.             }  
51.         }  
52.     }  
53.   
54.     @Override  
55.     public BTree getLeftChild() {  
56.         return lChild;  
57.     }  
58.   
59.   
60.     @Override  
61.     public BTree getRightChild() {  
62.         return rChild;  
63.     }  
64.   
65.     @Override  
66.     public Object getRootData() {  
67.         return data;  
68.     }  
69.   
70.     @Override  
71.     public boolean hasLeftTree() {  
72.         if(lChild != null)  
73.             return true;  
74.         return false;  
75.     }  
76.   
77.     @Override  
78.     public boolean hasRightTree() {  
79.         if(rChild != null)  
80.             return true;  
81.         return false;  
82.     }  
83.   
84.     @Override  
85.     public boolean isEmpty() {  
86.         if((lChild == null && rChild == null && data == null) || this == null) {  
87.             return true;  
88.         }  
89.         return false;  
90.     }  
91.       
92.     @Override  
93.     public boolean isLeaf() {  
94.         if(lChild == null && rChild == null) {  
95.             return true;  
96.         }  
97.         return false;  
98.     }  
99.   
100.     @Override  
101.     public void removeLeftChild() {  
102.         lChild = null;  
103.     }  
104.   
105.     @Override  
106.     public void removeRightChild() {  
107.         rChild = null;  
108.     }  
109.     @Override  
110.     public BTree root() {  
111.         return this;  
112.     }  
113.     @Override  
114.     public void setRootData(Object data) {  
115.         this.data = data;  
116.     }  
117.     @Override  
118.     public int size() {  
119.         return size(this);  
120.     }  
121.     private int size(BTree btree) {  
122.         if(btree == null)   
123.             return 0;  
124.         else if(btree.isLeaf())   
125.             return 1;  
126.         else {  
127.             if(btree.getLeftChild() == null) {  
128.                 return size(btree.getRightChild()) + 1;  
129.             } else if(btree.getRightChild() == null) {  
130.                 return size(btree.getLeftChild()) + 1;  
131.             } else {  
132.                 return size(btree.getLeftChild()) + size(btree.getRightChild()) + 1;  
133.             }  
134.         }   
135.     }  
136.       
137.   
138. }  

二叉树的遍历

 二叉树的遍历是指按照一定的次序访问树中所有结点，并且每个结点只被访问一次的过程。通常的遍历有三种方式，分别是：前序遍历、中序遍历和后序遍历，假设根结点、左孩子结点和右孩子结点分别用D、R、L表示，则前序遍历、中序遍历和后序遍历的顺序分别为DLR、LDR、LRD。所谓访问某结点，一般指对结点中的数据进行某种操作。所以，我们可以定义一个对结点中的数据进行操作的接口Visit，让所有遍历树的类实现这个接口。

Visit接口：

[java] view plaincopy

1. package datastructure.tree;  
2. /** 
3.  * 对结点进行操作的接口 
4.  * @author Administrator 
5.  * 
6.  */  
7. public interface Visit {  
8.     /** 
9.      * 对结点进行某种操作 
10.      * @param btree 树的结点 
11.      */  
12.     public void visit(BTree btree);  
13. }  

遍历二叉树

[java] view plaincopy

1. package datastructure.tree;  
2. /** 
3.  * 遍历二叉树 
4.  * @author Administrator 
5.  * 
6.  */  
7. public class OrderBTree implements Visit{  
8.     /** 
9.      * 前序遍历 
10.      * @param root 根结点 
11.      */  
12.     public void preOrder(BTree root) {  
13.         visit(root);  
14.         if(root.getLeftChild() != null) {  
15.             preOrder(root.getLeftChild());  
16.         }  
17.         if(root.getRightChild() != null) {  
18.             preOrder(root.getRightChild());  
19.         }  
20.     }  
21.     /** 
22.      * 中序遍历 
23.      * @param root 根结点 
24.      */  
25.     public void inOrder(BTree root) {  
26.         if(root.getLeftChild() != null)  
27.             inOrder(root.getLeftChild());  
28.         visit(root);  
29.         if(root.getRightChild() != null) {  
30.             //System.out.println("true");  
31.             inOrder(root.getRightChild());  
32.         }  
33.     }  
34.     /** 
35.      * 后序遍历 
36.      * @param root 根结点 
37.      */  
38.     public void postOrder(BTree root) {  
39.         if(root.getLeftChild() != null)  
40.             postOrder(root.getLeftChild());  
41.         if(root.getRightChild() != null)  
42.             postOrder(root.getRightChild());  
43.         visit(root);  
44.     }  
45.   
46.     @Override  
47.     public void visit(BTree btree) {  
48.         System.out.print(btree.getRootData() + "\t");  
49.     }  
50.   
51. }  

二叉树的测试

要构建的树

[java] view plaincopy

1. package datastructure.tree;  
2. /** 
3.  * 测试二叉树 
4.  * @author Administrator 
5.  * 
6.  */  
7. public class BTreeTest {  
8.     public static void main(String args[]) {  
9.         BTree btree = new LinkBTree('A');  
10.         BTree bt1, bt2, bt3, bt4;  
11.         bt1 = new LinkBTree('B');  
12.         btree.addLeftTree(bt1);  
13.         bt2 = new LinkBTree('D');  
14.         bt1.addLeftTree(bt2);  
15.           
16.         bt3 =  new LinkBTree('C');  
17.         btree.addRightTree(bt3);  
18.         bt4 =  new LinkBTree('E');  
19.         bt3.addLeftTree(bt4);  
20.         bt4 =  new LinkBTree('F');  
21.         bt3.addRightTree(bt4);  
22.           
23.         System.out.println("树的深度：" + btree.dept());  
24.         System.out.println("树的结点数：" + btree.size());  
25.         System.out.println("是否为空树：" + btree.isEmpty());  
26.         System.out.println("是否为叶子结点：" + btree.isLeaf());  
27.         System.out.println("最左下边结点是否为叶子结点：" + btree.getRightChild().getRightChild().isLeaf());  
28.         System.out.println("root结点：" + btree.root());  
29.           
30.         OrderBTree order = new OrderBTree();  
31.         System.out.println("\n前序遍历：");  
32.         order.preOrder(btree);  
33.         System.out.println("\n中序遍历：");  
34.         order.inOrder(btree);  
35.         System.out.println("\n后序遍历：");  
36.         order.postOrder(btree);  
37.           
38.         btree.removeLeftChild();  
39.         System.out.println("\n删除左子树后中序遍历为：");  
40.         order.inOrder(btree);  
41.     }  
42. }  

结果如下:

树的深度：3
树的结点数：6
是否为空树：false
是否为叶子结点：false
最左下边结点是否为叶子结点：true
root结点：datastructure.tree.LinkBTree@dc8569


前序遍历：
A B DCEF
中序遍历：
D B AECF
后序遍历：
D B EFCA
删除左子树后中序遍历为：
A E CF