c语言-求两圆交点

    在一个二维平面上给定两个圆的圆心横纵坐标、半径共6个参数, 求交点. 这个问题无非是解二元二次方程组.普通二元二次方程联立消元求解的困难在于, 中间过程里的系数会变得非常复杂, 从而导致容易出错—因为公式毕竟还是要人来推导,人的出错率比计算机要高得多得多—改用圆的参数方程求解, 可以在显著地减轻这个负担.
现在谈谈这问题的求解过程. 选择圆的参数方程的好处是方程是一次的, 化简方便, 虽然是三角函数方程并且既有正弦也有余弦, 不过到最后可以很方便地求出来.

(下面分析中x^y表示x的y次方)大家还记得圆的参数方程吧, 圆心 (x0, y0), 半径为 r 的圆的参数方程是:    x = r * cosθ + x0    y = r * sinθ + y0假设现在两圆参数x1, y1, r1, x2, y2, r2(这些分别表示, 咳, 有谁看不出来它们分别表示什么吗?), 设交点为 (x, y), 代入其中一个圆中的参数方程有    x = r1 * cosθ + x1 且 y = r1 * sinθ + y1代入另一圆的标准方程, 得到    (r1 * cosθ + x1 - x2)^2 + (r1 * sinθ + y1 - y2)^2 = r2^2是的, 看起来有关于正余弦二次项, 不过不要惊慌, 展开合并同类项之后, 正好这两项会合并成常数:左边 = (r1 * cosθ)^2 + (r1 * sinθ)^2 + 2 * r1 * (x1 - x2) * cosθ + 2 * r1 * (y1 - y2) * sinθ      = r2^2 - (x1 - x2)^2 - (y1 - y2)^2 = 右边这样就好办了, 把 r1^2 转移到等式右边, 令:   a = 2 * r1 * (x1 - x2)    b = 2 * r1 * (y1 - y2)    c = r2^2 - r1^2 - (x1 - x2)^2 - (y1 - y2)^2那么方程便成为:    a * cosθ + b * sinθ = c用 (1 - (cosθ)^2)^(1 / 2) 表示sinθ, 令：    p = a^2 + b^2    q = -2 * a * c    r = c^2 - b^2便化为一个一元二次方程, 解得:    cosθ = (±(q^2 - 4 * p * r)^(1 / 2) - q) / (2 * p)

    然而到此为止还没有结束, 因为刚才将三角方程转化为二次方程时, 等式两边平方了一次, 如果直接这样求对应角的正弦值, 符号总会为正.为了将纵坐标正确解出, 必须变角. 那么如何变角？方法当然很多, 诱导公式, 或者反过头去把方程变一下, 以正弦作为未知数,但是这些方法都比较复杂. 在这里可以选择另一种方案, 那就是用验证代替求解: 验证所得的解是不是根, 如果不是, 将纵坐标反号便可以了.最后注意一下两解的横坐标相同的情况, 这样要先输出正的再输出负的.

#include<math.h>  struct point_t {      double x, y;  };  struct circle_t {      struct point_t center;      double r;  };  int double_equals(double const a, double const b)  {      static const double ZERO = 1e-9;      return fabs(a - b) < ZERO;  }  double distance_sqr(struct point_t const* a, struct point_t const* b)  {      return (a->x - b->x) * (a->x - b->x) + (a->y - b->y) * (a->y - b->y);  }  double distance(struct point_t const* a, struct point_t const* b)  {      return sqrt(distance_sqr(a, b));  }  int insect(struct circle_t circles[], struct point_t points[])  {      double d, a, b, c, p, q, r;      double cos_value[2], sin_value[2];      if (double_equals(circles[0].center.x, circles[1].center.x)          && double_equals(circles[0].center.y, circles[1].center.y)          && double_equals(circles[0].r, circles[1].r)) {          return -1;      }      d = distance(&circles[0].center, &circles[1].center);      if (d > circles[0].r + circles[1].r          || d < fabs(circles[0].r - circles[1].r)) {          return 0;      }      a = 2.0 * circles[0].r * (circles[0].center.x - circles[1].center.x);      b = 2.0 * circles[0].r * (circles[0].center.y - circles[1].center.y);      c = circles[1].r * circles[1].r - circles[0].r * circles[0].r          - distance_sqr(&circles[0].center, &circles[1].center);      p = a * a + b * b;      q = -2.0 * a * c;      if (double_equals(d, circles[0].r + circles[1].r)          || double_equals(d, fabs(circles[0].r - circles[1].r))) {          cos_value[0] = -q / p / 2.0;          sin_value[0] = sqrt(1 - cos_value[0] * cos_value[0]);          points[0].x = circles[0].r * cos_value[0] + circles[0].center.x;          points[0].y = circles[0].r * sin_value[0] + circles[0].center.y;          if (!double_equals(distance_sqr(&points[0], &circles[1].center),                             circles[1].r * circles[1].r)) {              points[0].y = circles[0].center.y - circles[0].r * sin_value[0];          }          return 1;      }      r = c * c - b * b;      cos_value[0] = (sqrt(q * q - 4.0 * p * r) - q) / p / 2.0;      cos_value[1] = (-sqrt(q * q - 4.0 * p * r) - q) / p / 2.0;      sin_value[0] = sqrt(1 - cos_value[0] * cos_value[0]);      sin_value[1] = sqrt(1 - cos_value[1] * cos_value[1]);      points[0].x = circles[0].r * cos_value[0] + circles[0].center.x;      points[1].x = circles[0].r * cos_value[1] + circles[0].center.x;      points[0].y = circles[0].r * sin_value[0] + circles[0].center.y;      points[1].y = circles[0].r * sin_value[1] + circles[0].center.y;      if (!double_equals(distance_sqr(&points[0], &circles[1].center),                         circles[1].r * circles[1].r)) {          points[0].y = circles[0].center.y - circles[0].r * sin_value[0];      }      if (!double_equals(distance_sqr(&points[1], &circles[1].center),                         circles[1].r * circles[1].r)) {          points[1].y = circles[0].center.y - circles[0].r * sin_value[1];      }      if (double_equals(points[0].y, points[1].y)          && double_equals(points[0].x, points[1].x)) {          if (points[0].y > 0) {              points[1].y = -points[1].y;          } else {              points[0].y = -points[0].y;          }      }      return 2;  }  int main()  {      struct circle_t circles[2];      struct point_t points[2];      printf("请输入两圆x，y，半径(以逗号分开)：");      while (EOF != scanf("%lf,%lf,%lf,%lf,%lf,%lf",                     &circles[0].center.x, &circles[0].center.y, &circles[0].r,                     &circles[1].center.x, &circles[1].center.y, &circles[1].r)) {          switch (insect(circles, points)) {              case -1:                  printf("THE CIRCLES ARE THE SAME/n");                  break;              case 0:                  printf("NO INTERSECTION/n");                  break;              case 1:                  printf("(%.3lf %.3lf)\n", points[0].x, points[0].y);                  break;              case 2:                  printf("(%.3lf %.3lf) (%.3lf %.3lf)\n",                         points[0].x, points[0].y,                         points[1].x, points[1].y);          }      }      return 0;  }