L0 Smoothing 笔记（一）

          本文是Image Smoothing via L0 Gradient Minimization的学习笔记，大部分来自笔者对原文的翻译。笔者计算数学系小白一枚，初次接触图像处理，这是阅读的第一篇相关论文，如果笔记有所偏差，还望读者批评指正。

     所谓图像平滑，就是将图像中无关紧要的细节去除，而只保留显著的边缘部分。L0范数可以理解为向量中非零元素的个数。而L0 Smoothing是通过控制非零图像梯度的数目来增强图像显著边缘部分，以此达到图像的全局优化。

（一）原理

 1）一维平滑

    用g来表示原始输入的离散信号，用f来表示信号平滑处理后的结果。此方法直接计数幅度的变化，其数学表达式为：

                                                               （1）

     其中，p和p+1和分别表示相邻采样信号或者像素值，|fp-fp+1|示相邻信号间的梯度，信号之间采用向前差分的形式求解梯度。#{}表示一个统计操作，用来统计满足|fp-fp+1|不等于零的信号p的数目，即图像梯度的L₀范数。c(f)不依赖于梯度本身，因此如果只改变其边缘对比度，它的值不会受到影响。这个离散计数函数是此法的核心。

    但是仅仅有这一项是毫无意义的。在我该方法中，它与一般的约束项结合，即，结果f应该在结构上类似于输入信号g。具体的目标函数是：

                                                      （2）

    c(f)＝k表示结果中存在k个非零梯度。k越大，近似越精细。实际上，k的取值可能从几十到几千不等，尤其是在具有不同分辨率的二维图像中。为了控制k的取值，采用一般方程的形式在平滑项和保真项之间寻求一种平衡，并将其写为：

                                                         （3）

    其中，lambda是控制着平滑项的权重参数，其数值越大，信号平滑的就越严重。通过下图可以看出该法的优点：

                

2）二维规划

    在二维图像表示中，用I表示输入图像，用S表示计算结果。Sp的梯度是用来计算对于每一个像素点p，在x（水平）和y（垂直）方向上，它们与相邻像素间的颜色差异。此法的梯度测量（图像梯度的L₀范数的测量）可表示为：

                                                      （4）

    根据这个定义，S可以通过求解下式来估计：

                                                       （5）

（二）求解

    引入辅助变量h_p和v_p，分别与S在x和y方向上的梯度相对应（即是两梯度的近似），将目标函数改写为：

                                  （6）

    其中，C（h,v）表示使得|hp|+|vp|不等于零的p的数目。beta是自适应参数，它控制着(h,v)和它们相应的梯度之间的相似度。当足够大时，方程(6)与方程(5)相近。方程(6)可以通过交替最小化求解(h,v)和S来解决。在每一次迭代过程中，每组变量的值都是由上一次迭代中得到的值来确定的。

子问题1：求解S

    估计S的子问题对应于省略公式(6)中不涉及S的项后的公式（公式(7)）的最小化：

                                             （7）

    该函数是二次函数，故可以通过梯度下降法获得全局最小值。此外，利用快速傅里叶变换(FFT)对微分算子进行处理，以加快计算速度。则获得的解为：

                                         （8）

    其中，F是FFT算子，F()*表示共轭复数。F（1）是δ函数的傅里叶变换。加号、乘法和除法都是分量运算符。相比与在图像空间中直接求解含有大型矩阵逆运算的方程(7)，运用傅里叶变换，通过简单的分量除法进行计算更加快捷。

子问题2：求解(h,v)

    关于(h,v)的目标函数是：

                                              （9）

    式(9)可以分解为：

                                        （10）

    其中，H(|hp|+|vp|)是一个二元函数，当|hp|+|vp|=0时其函数值为1，否则其函数值为0。在公式(10)中每一个像素p对应的项为：

                                          （11）

    在下列条件下达到最小值Ep*:

                                           （12）

    证明如下：

                       

                        

                   

       根据上述推导过程，在这一步中，我们计算每个像素p的最小能量Ep*，将所得数值加起来，可得到式（10）的全局最优解。

       交替最小化算法展示如下：

                           

       

在阅读论文的过程中，看到一些不错的笔记，链接与大家共享：

（1）原文及matlab代码链接：

http://www.cse.cuhk.edu.hk/leojia/projects/L0smoothing/index.html

（2）http://blog.csdn.net/dayenglish/article/details/42834723

（3）http://blog.csdn.net/k81805757/article/details/47011401

（4）http://blog.csdn.net/bluecol/article/details/48750561