Fast approximation algorithms for nding node-independent paths in networks摘要

关键概念：

图中，两个节点i，f之间节点独立路径（node-independent paths）的集合，关于节点独立的意思是：集合中所有路径之间除去初始节点i和终点f之外，不再有任何公共节点存在。节点间节点独立路径数越大表示图具有越好的内聚性。其实给定任意两个节点i，f，两节点间由节点独立路径组成的集合不止一个，其中包含元素最多的集合的元素数，定义为K(i,f)表示节点i，f之间最大节点独立路径数。任意不相邻两节点i，f的局部连通性，用为使节点i，f不连通，所应从图中移除的节点数来表示，记为κ(i,f)。直观上应不难理解：K(i,f)=κ(i,f)。κ(i,f)是对于删除节点图弹性的直观反映。

关于K(i,f)的计算：

an exact algorithm：

a）标记图中的节点，标记为available或者unavailable，对于那些可以用来组成一条从初始节点i到终点f的路径的节点标记为available，对于那些已经出现在其他路径中的节点应该标记为unavailable。用n来记录产生的节点独立路径数。

b）在标记为available的节点中，产生一条从节点i到节点f的新路径，如果存在这样一条路径则n=n+1，并且把组成该路径的节点标记为unavailable，然后重复步骤b。

c）如果在标记为available的节点中，找不到一条从i到f的路径，我们就把组成第n条路径的节点标记为available，并且n=n-1，从步骤b开始重复

d）当在i和f之间不再存在路径时，结束。n即为所求的i和f之间的最大节点独立路径数。

其实该算法就是递归回溯的具体应用，搜索遍历所有可能的情况。该算法的运行是很耗时间的。

approximation algorithm：

该方法的基本思想就像之前介绍的一样，从i到f的路径中选择一条作为i到f的独立路径，并且做出标记以便后面判断这些节点不能用构建新的节点独立路径，然后再从剩余的节点中选择新的路径。这个过程直至没有新的路径从中产生为止。与上一个方法相比我们并不搜索所有可能路径。还有就是据我们观察发现，对于那些越长的路径，属于我们最终要找的路径集合的概率越小。其实这个并不难理解，比如我们选择一条长的环形路径，那么再剩余的节点中，再想找到许多条节点独立的路径就很难了。因此，在我们算法中，我们更倾向于优先寻找那些节点间的最短路径。步骤如下：

a）初始标记除i，f之外的所有节点为available，n=0

b）在标记为available的节点中寻找从i到f的最短路径，如果存在则n=n+1，把组成该路径的节点标记为unavailable，重复步骤b

c）当节点i和f之间不再存在路径时，结束。

方法在寻找最短路径时，有可能最短路径不止一条，这是该选那一条或者说该怎么选呢。可以给定一个参数p来设定，当遇到有多条最短路径时，究竟该遍历几条最短经，方法很多，具体不再具体阐述。