sklearn降维方法举例(RandomProjection,TSVD,t-SNE)

sklearn降维方法举例

以datasets.digits数据为例导入相关包

import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltimport timefrom sklearn.datasets import load_digits

大样本数据的可视化是一个相对比较麻烦的事情，

一般情况下我们都要用到降维的方法先处理特征。我们找一个例子来看看，可以怎么做，比如我们数据集取经典的『手写数字集』

Each datapoint is a 8x8 image of a digit.

Classes->10

Samples per class->180

Samples total->1797

Dimensionality->64

Features integers->0-16

导入数据,0,1,2,3,4,5,6这7个数字的手写图像

digits = load_digits(n_class=7)#integerX = digits.datay = digits.targetn_samples,n_features = X.shape

输出图像

from matplotlib import offsetboxdef plot_embedding(X, title=None):    x_min, x_max = np.min(X, 0), np.max(X, 0)    X = (X - x_min) / (x_max - x_min)#正则化    print X    plt.figure(figsize=(10, 10))    ax = plt.subplot(111)    for i in range(X.shape[0]):        plt.text(X[i, 0], X[i, 1], str(digits.target[i]),                 color=plt.cm.Set1(y[i] / 10.),                 fontdict={'weight': 'bold', 'size': 12})    #打印彩色字体    if hasattr(offsetbox, 'AnnotationBbox'):        # only print thumbnails with matplotlib > 1.0        shown_images = np.array([[1., 1.]])  # just something big        for i in range(digits.data.shape[0]):            dist = np.sum((X[i] - shown_images) ** 2, 1)            if np.min(dist) < 4e-3:                # don't show points that are too close                continue            shown_images = np.r_[shown_images, [X[i]]]            imagebox = offsetbox.AnnotationBbox(                offsetbox.OffsetImage(digits.images[i], cmap=plt.cm.gray_r),                X[i])            ax.add_artist(imagebox)#输出图上输出图片    plt.xticks([]), plt.yticks([])    if title is not None:        plt.title(title)

1.随机投射(Random-Projection)

首先我们来看一个问题， 如果你手头有一组数据X∈Rn， 它的维数太高， 从而不得不进行降维至Rk， 你会怎么办？

相信不少人反射性地求它的x′x，然后转化为延最大方差展开的问题。 当然这个方法需要求解固有值和固有向量。对于测试用的小数据一切似乎都很好， 但如果我给你的是50G大小csv格式的Twitter发言呢？如果需要对全部单词降维， 恐怕半个月吧。 因此我们需要个更加快速的方法。

那么现在再来想， 既然要快， 那我们就用个最简单的方法： 随机在高维空间里选几个单位向量ei， 但注意， 这里我们仅仅要求是单位向量， 并没有要求它们之间必须正交<ei,ej>=0， 因此你可以随便选。 最后， 我们把高维数据投影到选择的这一组基上。也就完成了降维。

随便选的轴如何能保证降维效果？ 但它是有数学依据的， 叫做Johnson-Lindenstrauss Lemma。这个定理保证了任何降维方法的精度上下限。

Johnson-Lindenstrauss Lemma

假设我们有数据x∈Rn， 而我们通过一种方法f(x)将其降维成y∈Rk， 那么， 将为前后任意两点a,b之间的距离有不等式保证：

(1−ϵ)∥a−b∥2≤∥f(a)−f(b)∥2≤(1+ϵ)∥a−b∥2

对于随机映射来说， 只要注意到下面几点就行了：

1.不定式中的精度仅仅受制于维数、数据大小等因素， 与将为方法无关。

2.在维数差不是很大时， 总可以保证一个相对较高的精度， 不论用什么方法。

3.到这里一切就很明显了， 既然精度有上界， 那我们也就不必担心轴的选取，那么最简单的方法自然就是随机挑选了， 这也就产生的Random Projection这一方法。

Random Projection

简单来说,Random Projection流程就是

选择影射矩阵R∈RK×N。

用随机数填充影射矩阵。 可以选择uniform或者gaussian。

归一化每一个新的轴（影射矩阵中的每一行）。

对数据降维y=RX。

上个小节里面的JL-lemma保证的降维的效果不会太差。

从直观上来看看。

首先假设我们有数据X={x|fi(θ)+σ}， 其中θ是一组参数， σ则是高斯噪声。 回想PCA方法， 我们很自然的认为所有的特征都是正交的， 我们既没有考虑它是不是有多个中心， 也没有考虑是不是有特殊结构， 然而对于实际数据， 很多时候并不是这样。 比如我们把取f(θ)=Si(θi)N(A,σi)∈R3， 其中Si∈SO(3)， 这样我们得到的数据可能会像×或者∗一样， 显然用PCA并不能得到好的结果。

在这种情况下， 考虑在非常高维度的空间， 可以想象random projection这种撞大运的方法总会选到一些超平面能够接近数据的特征， 同时也能够想象如果目标维数过低， 那么命中的概率就会大大降低。

实现：

from sklearn import random_projectionrp = random_projection.SparseRandomProjection(n_components=2, random_state=42)#随机映射算法start_time = time.time()X_projected = rp.fit_transform(X)#随机投射plot_embedding(X_projected, "Random Projection of the digits (time: %.3fs)" % (time.time() - start_time))plt.show()

时间很短但效果一般

官方描述：

def sparse_random_matrix(n_components, n_features, density='auto',                         random_state=None):    """Generalized Achlioptas random sparse matrix for random projection    Setting density to 1 / 3 will yield the original matrix by Dimitris    Achlioptas while setting a lower value will yield the generalization    by Ping Li et al.    If we note :math:`s = 1 / density`, the components of the random matrix are    drawn from:      - -sqrt(s) / sqrt(n_components)   with probability 1 / 2s      -  0                              with probability 1 - 1 / s      - +sqrt(s) / sqrt(n_components)   with probability 1 / 2s    Read more in the :ref:`User Guide <sparse_random_matrix>`.    Parameters    ----------    n_components : int,        Dimensionality of the target projection space.    n_features : int,        Dimensionality of the original source space.    density : float in range ]0, 1] or 'auto', optional (default='auto')        Ratio of non-zero component in the random projection matrix.        If density = 'auto', the value is set to the minimum density        as recommended by Ping Li et al.: 1 / sqrt(n_features).        Use density = 1 / 3.0 if you want to reproduce the results from        Achlioptas, 2001.    random_state : integer, RandomState instance or None (default=None)        Control the pseudo random number generator used to generate the        matrix at fit time.    Returns    -------    components: numpy array or CSR matrix with shape [n_components, n_features]        The generated Gaussian random matrix.    """    _check_input_size(n_components, n_features)    density = _check_density(density, n_features)    rng = check_random_state(random_state)    if density == 1:        # skip index generation if totally dense        components = rng.binomial(1, 0.5, (n_components, n_features)) * 2 - 1        return 1 / np.sqrt(n_components) * components    else:        # Generate location of non zero elements        indices = []        offset = 0        indptr = [offset]        for i in xrange(n_components):            # find the indices of the non-zero components for row i            n_nonzero_i = rng.binomial(n_features, density)            indices_i = sample_without_replacement(n_features, n_nonzero_i,                                                   random_state=rng)            indices.append(indices_i)            offset += n_nonzero_i            indptr.append(offset)        indices = np.concatenate(indices)        # Among non zero components the probability of the sign is 50%/50%        data = rng.binomial(1, 0.5, size=np.size(indices)) * 2 - 1        # build the CSR structure by concatenating the rows        components = sp.csr_matrix((data, indices, indptr),                                   shape=(n_components, n_features))        return np.sqrt(1 / density) / np.sqrt(n_components) * components

2.TSVD(截断奇异值分解, TruncatedSVD,PCA的一种实现)

截断奇异值分解（Truncated singular value decomposition，TSVD）是一种矩阵因式分解（factorization）技术，将矩阵 M 分解成 U ， Σ 和 V 。它与PCA很像，只是SVD分解是在数据矩阵上进行，而PCA是在数据的协方差矩阵上进行。通常，SVD用于发现矩阵的主成份。对于病态矩阵，目前主要的处理办法有预调节矩阵方法、区域分解法、正则化方法等，截断奇异值分解技术TSVD就是一种正则化方法，它牺牲部分精度换去解的稳定性，使得结果具有更高的泛化能力。

对于原始数据矩阵A(N*M) ，N代表样本个数，M代表维度，对其进行SVD分解：

A=UΣVT,Σ=diag(δ1,δ2,…,δn)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢δ100..00δ20..000δ3..0............000..δn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

上式中的δ就是数据的奇异值，且δ1>δ2>δ3…，通常如果A非常病态，delta的后面就越趋向于0，δ1δn就是数据的病态程度，越大说明病态程度越高，无用的特征越多，通常会截取前p个最大的奇异值，相应的U截取前p列，V截取前p列，这样A依然是N*M的矩阵，用这样的计算出来的A代替原始的A，就会比原始的A更稳定。

TSVD与一般SVD不同的是它可以产生一个指定维度的分解矩阵。例如，有一个 n×n 矩阵，通过SVD分解后仍然是一个 n×n 矩阵，而TSVD可以生成指定维度的矩阵。这样就可以实现降维了。

演示一下TSVD工作原理

In[1]:import numpy as npfrom scipy.linalg import svdD = np.array([[1, 2], [1, 3], [1, 4]])D

Out[1]:array([[1, 2],       [1, 3],       [1, 4]])

In[2]:U, S, V = svd(D, full_matrices=False)#我们可以根据SVD的定义，用 UU ， SS 和 VV 还原矩阵 DD U.shape, S.shape, V.shape

Out[2]:((3, 2), (2, 1), (2, 2))

In[3]:np.dot(U.dot(np.diag(S)), V)#还原

Out[3]:array([[ 1.,  2.],       [ 1.,  3.],       [ 1.,  4.]])

TruncatedSVD返回的矩阵是 U 和 S 的点积。如果我们想模拟TSVD，我们就去掉最新奇异值和对于 U 的列向量。例如，我们想要一个主成份，可以这样：

In[4]:new_S = S[0]new_U = U[:, 0]new_U.dot(new_S)

Out[4]:array([-2.20719466, -3.16170819, -4.11622173])

TruncatedSVD有个“陷阱”。随着随机数生成器状态的变化，TruncatedSVD连续地拟合会改变输出的符合。为了避免这个问题，建议只用TruncatedSVD拟合一次，然后用其他变换。这正是管线命令的另一个用处。

实现：

from sklearn import decompositionX_pca = decomposition.TruncatedSVD(n_components=2).fit_transform(X)start_time = time.time()plot_embedding(X_pca,"Principal Components projection of the digits (time: %.3fs)" % (time.time() - start_time))plt.show()

效果稍微好一些

3.t-SNE(t-分布邻域嵌入算法)

流形学习方法(Manifold Learning)，简称流形学习,可以将流形学习方法分为线性的和非线性的两种，线性的流形学习方法如我们熟知的主成份分析（PCA），非线性的流形学习方法如等距映射（Isomap）、拉普拉斯特征映射（Laplacian eigenmaps，LE）、局部线性嵌入(Locally-linear embedding，LLE)。

t-SNE详细介绍：http://lvdmaaten.github.io/tsne/

from sklearn import manifold#降维tsne = manifold.TSNE(n_components=2, init='pca', random_state=0)start_time = time.time()X_tsne = tsne.fit_transform(X)#绘图plot_embedding(X_tsne,               "t-SNE embedding of the digits (time: %.3fs)" % (time.time() - start_time))plt.show()#这个非线性变换降维过后，仅仅2维的特征，就可以将原始数据的不同类别，在平面上很好地划分开。#不过t-SNE也有它的缺点，一般说来，相对于线性变换的降维，它需要更多的计算时间。