数学-HDU4790

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4790

题目意思是：从区间[a,b]选取一个数字x，区间[c,d]选取一个数字y，使得(x+y)%p=m。问你几率有多大。最简分式输出（除gcd就可以）。
总的事件总数就是(b-a+1)*(d-c+1)。

关键是求 满足(x+y)%p=m 的选择方法总数。
如何求呢？

其实直接求不好求，而且容易超时。
我们可以先利用容斥原理转化一下。
假定f(a,b)表示的是在区间0~a和区间0~b中分别取x和y使得(x+y)%p=m的事件数。
那么ans=f(b,d)-f(b,c-1)-f(a-1,d)+f(a-1,c-1)。（f(a-1,c-1)是被减了两遍的）。
那如何求f(a,b)呢，其实这是关键。

下面我引用一个博客的例子：
例如：求f(16,8),p=6,m=2.
因为(x+y)%p=(x%p+y%p)%p.所以重写一下0~a和0~b两个区间。
对于a有：0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4
对于b有：0 1 2 3 4 5 0 1 2
a中（0 1 2 3 4 5）的数量为 a/p个，b中（0 1 2 3 4 5）的数量为 b/p个。
所以根据这个将两个区间分为四部分。
这样取A集合为（0 1 2 3 4 5/0 1 2 3 4 5）,B集合为（0 1 2 3 4）
C集合为（0 1 2 3 4 5/）,D集合为（0 1 2）。
这样就可以分成4部分来计算了。
f(16,7)=A和C满足条件的数+A和D满足条件的数+B和C满足条件的数+B和D满足条件的数。

一、A和C满足条件的数：
A中先取一个其中一个（0 1 2 3 4 5），C中取一个（0 1 2 3 4 5）从A中取一个数x，C中任意一个数y相加对p取余的范围是[0~5]也就是说 一个x对应一个y，A中有a/p个（0 1 2 3 4 5）C中有b/p个（0 1 2 3 4 5）每个区间p个数，所以总数为ans=(a/p)*(b/p)*p.

二、A和D满足条件的数：
D集合中元素数目mb=b%p+1（元素0）。根据( 一、)，AD满足的条件数为ans+=mb*(a/p)。

三、B和C满足条件的数：
跟（二、）同理，为ans+=(a%p+1)*(b/p)。

四、B和D满足条件的数：
最难求的就是这个啦，难求在哪呢，或者说跟前面的区别在哪呢。
因为B或D中任意一元素并不一定在另一个集合中有对应，例如B中 （3,4,5）在D中都没有对应。所以我们这样分情况：

（1）ma>m:(B集合元素:0,1,2……m……ma)
ma大于m就意味着集合D中最多有m+1个元素（元素0）跟他相对应，为什么最多呢，因为D集合中元素个数可能小于m+1。所以ans+=min(m,mb)+1。这是所有情况吗？其实不是，当(mb+ma)%p>=m时就会漏掉一些情况。D集合中最大元素为mb，B中最大为ma，令t=(m-ma+p)%p（如果mb小于m那么t>mb？）。这是求出来的满足B中最大项在D对应的值，如果t<=mb那就说明D中有mb-t+1个元素（区间t~mb）与之相对应。ans+=mb-t+1。

（2）ma<=m:(B集合元素：0,1…ma)
ma<=m时，D集合中最多有ma个元素跟他相对应啦。所以跟（1）后半部分相似。D集合中最大元素为mb，B中最大为ma，同样令t=(m-ma+p)%p。也就是ma对应的D集合中最大值。如果t<=mb那就说明D中有元素跟他对应。 假设有k个，首先B集合中肯定有0没0就说明B集合没有元素。D中跟0相对应的是m，所以元素个数不会超过k=m-t+1个。mb可能小于m吧，这个之前并没有讨论。所以k也不会超过mb-t+1个。ans+=min(mb-t+1,m-t+1)。
至此，所有情况就讨论完了。
代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>#include <map>#define ll long longusing namespace std;ll p,m;ll g(ll x,ll y){    if(x<y)swap(x,y);    if(!y)return x;    else return g(y,x%y);}ll f(ll x,ll y){    if(x<0||y<0)return 0;    ll ans=(x/p)*(y/p)*p;    ll mx=x%p,my=y%p;    ans+=(y/p)*(mx+1);    ans+=(my+1)*(x/p);    if(mx>m)    {        ans+=min(m,my)+1;        ll t=(m-mx+p)%p;        if(t<=my)ans+=my-t+1;    }    else    {        ll t=(p+m-mx)%p;        if(t<=my)ans+=min(m-t+1,my-t+1);    }    return ans;}int main(){    ll a,b,c,d;    int T;    scanf("%d",&T);    int ca=1;    while(T--)    {        ll sum;        scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d %I64d %I64d",&a,&b,&c,&d,&p,&m);        ll ss=f(b,d)-f(a-1,d)-f(b,c-1)+f(a-1,c-1);        sum=(b-a+1)*(d-c+1);        ll gcd=g(sum,ss);        sum=sum/gcd;        ss=ss/gcd;        printf("Case #%d: %I64d/%I64d\n",ca++,ss,sum);    }}