拓扑排序

什么是拓扑排序?

在图论中，拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：

1. 每个顶点出现且只出现一次。
2. 若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

有向无环图（DAG）才有拓扑排序，非DAG图没有拓扑排序一说。

拓扑排序介绍
拓扑排序(Topological Order)是指，将一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)进行排序进而得到一个有序的线性序列。
这样说，可能理解起来比较抽象。下面通过简单的例子进行说明！ 
例如，一个项目包括A、B、C、D四个子部分来完成，并且A依赖于B和D，C依赖于D。现在要制定一个计划，写出A、B、C、D的执行顺序。这时，就可以利用到拓扑排序，它就是用来确定事物发生的顺序的。
在拓扑排序中，如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序结果中B出现在A的后面。
拓扑排序的算法图解
拓扑排序算法的基本步骤：
1. 构造一个队列Q(queue) 和 拓扑排序的结果队列T(topological)； 
2. 把所有没有依赖顶点的节点放入Q； 
3. 当Q还有顶点的时候，执行下面步骤： 
3.1 从Q中取出一个顶点n(将n从Q中删掉)，并放入T(将n加入到结果集中)； 
3.2 对n每一个邻接点m(n是起点，m是终点)； 
3.2.1 去掉边<n,m>; 
3.2.2 如果m没有依赖顶点，则把m放入Q; 
注：顶点A没有依赖顶点，是指不存在以A为终点的边。

以上图为例，来对拓扑排序进行演示。

第1步：将B和C加入到排序结果中。 
    顶点B和顶点C都是没有依赖顶点，因此将C和C加入到结果集T中。假设ABCDEFG按顺序存储，因此先访问B，再访问C。访问B之后，去掉边<B,A>和<B,D>，并将A和D加入到队列Q中。同样的，去掉边<C,F>和<C,G>，并将F和G加入到Q中。 
    (01) 将B加入到排序结果中，然后去掉边<B,A>和<B,D>；此时，由于A和D没有依赖顶点，因此并将A和D加入到队列Q中。 
    (02) 将C加入到排序结果中，然后去掉边<C,F>和<C,G>；此时，由于F有依赖顶点D，G有依赖顶点A，因此不对F和G进行处理。 
第2步：将A,D依次加入到排序结果中。 
    第1步访问之后，A,D都是没有依赖顶点的，根据存储顺序，先访问A，然后访问D。访问之后，删除顶点A和顶点D的出边。 
第3步：将E,F,G依次加入到排序结果中。
因此访问顺序是：B -> C -> A -> D -> E -> F -> G

#include<cstdio>#include<cstring>#include<queue>#include<algorithm>#define maxn 100001typedef long long ll;using namespace std;int tupo[maxn];struct A{    int next;    int to;}f[maxn];int head[maxn];int rudu[maxn];int cnt;void build(int u,int v){    f[cnt].to=v;    f[cnt].next=head[u];    head[u]=cnt++;}int main(){    int n,m;    while(~scanf("%d %d",&n,&m)){    queue<int> q;    memset(head,-1,sizeof(head));        memset(rudu,0,sizeof(rudu));        int s,e;        cnt=1;        for(int i=1;i<=m;i++){            scanf("%d %d",&s,&e);            build(s,e);            rudu[e]++;        }        for(int i=1;i<=n;i++)        if(rudu[i]==0)                q.push(i);        int kk=0;        while(!q.empty()){            int fr=q.front();            q.pop();            tupo[kk++]=fr;            for(int i=head[fr];i!=-1;i=f[i].next){                int to=f[i].to;                rudu[to]--;                if(rudu[to]==0)q.push(to);            }        }        for(int i=0;i<n;i++){            printf("%d\n",tupo[i]);        }    }    return 0;}/*1 24 11 51 910 35 108 96 93 64 5*/

结果：4 7 8 1 5 2 10 3 6 9