矩阵基础（三）

向量空间和子空间

向量空间对数乘和加法封闭。
属于向量空间的一个向量空间即是其子空间，比如

R2

空间中的一条过原点的直线。（想想为什么必须过原点，因为不过原点显然乘法不封闭。）

空间

R3

一共有四个子空间，分别是

R3

本身、过原点的平面、过原点的直线和原点。
性质：假设有子空间S和T，则S和T的交集还是子空间，但是S和T的并集就不是子空间了。

用矩阵构造空间

矩阵的列空间：用矩阵A的列的线性组合构成的空间，记作：C(A)
举个例子，假设有矩阵A：

A=⎡⎣⎢⎢⎢123433332345⎤⎦⎥⎥⎥

显然，矩阵A的列向量组成的列空间C(A)即是A的列向量的线性组合构成了

R4

的一个子空间。
显然，这个列空间不可能构成整个

R4

空间，这样可以得到方程：

Ax=b

对于任意向量b不一定总有解，因为Ax是子空间的一个线性组合，b向量不一定刚好是C(A)空间中的一个向量！换句话说，只有向量b属于A的列空间时，这个方程才有解。
C(A)构成的空间有可能不是三维子空间，因为A三个列向量不一定线性无关。比如例子中的A就是

R4

的一个二维子空间。
矩阵A的零空间是当b是零向量时，x的解空间，记作：N(A)
注意：例子中的C(A)属于四维空间(矩阵A的行数)，N(A)属于三维空间(矩阵A的列数)。
矩阵的行空间：用矩阵A的行的线性组合构成的空间，通常使用A的转置进行处理，因此记作：

C(AT)

矩阵A转置的零空间方程:

ATx=b

中当b是零向量时的x的解空间，记作：

N(AT)

通常也叫做“左零空间”

矩阵的秩

假设有矩阵A为：

⎡⎣⎢1232462682810⎤⎦⎥

通过消元法得到矩阵的上三角阵U为：

⎡⎣⎢100200220240⎤⎦⎥

显然主元数为2，则A的秩为2，记作：R(A)=2。
含有主元的第一列和第三列称为主列，剩下的第二列和第四列称为自由列。
之所以这样叫，是因为对于方程：

Ax=0设解x=⎡⎣⎢⎢⎢x1x2x3x4⎤⎦⎥⎥⎥

来说，解x的第一列和第四列对应的系数变量可以是自由取的，比如取：

x2=1,x4=0则可解得：x1=−2,x3=0即：x1N=⎡⎣⎢⎢⎢−2100⎤⎦⎥⎥⎥

注：下标N代表零空间的解，上标1代表第一个解，即A的零空间的第一个解

然后，让我们取：

x2=0,x4=1

时，可以得到零空间的第二个解：

x2N=⎡⎣⎢⎢⎢20−21⎤⎦⎥⎥⎥

注，两组自由变量要取的不相关，如[1,2],[2,4]就不行。取[1,0],[0,1]是为了好计算剩下两个变量，当然去其他的不相关的值也行。

这样可得：

矩阵A的零空间即是x1N和x2N的线性组合。同样也是方程组Ax=b的解记作x=k1x1N+k2x2N(k1,k2∈R)

通过上面内容可以得出：对于任意m行n列的矩阵A，如果秩R(A)=r，则说明通过消元法后A有r个主变量，n-r个自由变量。
简化的U矩阵：将主元全变为1，同时主元的所在列的其他元素都为0，对于上面例子中的U最终可简化为：

Urref=⎡⎣⎢100200010−220⎤⎦⎥(rref是reducedrowechelonform的缩写)

注：matlab使用函数rref(A)即可得到该值。使用null(A)就可以得到矩阵A的零空间的矩阵。

可解性和解的结构

显然，如果需要：

Ax=b

只有向量b属于A的列空间时，这个方程才有解。
如果方程有解，则解的结构为矩阵A的零空间加上一个特解。
特解可以令所有自由变量为0，然后求取其他变量。
例如，使用上一个小节的A，有方程：

Ax=b,其中：A=⎡⎣⎢1232462682810⎤⎦⎥b=⎡⎣⎢3811⎤⎦⎥

进行初等行变化后得：

[A|b]⟹⎡⎣⎢100200220240320⎤⎦⎥

令自由变量为0和0，则解得主变量为1和1，最后特解：

x∗=⎡⎣⎢⎢⎢1010⎤⎦⎥⎥⎥

最后解得结构为：

x=k1x1N+k2x2N+x∗(k1,k2∈R)

这个解的结构可以理解为过原点的超平面。即零空间，通过平移一个特解的距离得到的一个超平面。

总结一下，有矩阵A为m行n列，矩阵A的秩为r，则：
r=m=n时，行最简型为单位阵I，Ax=b的解有一个；
r=m

⎡⎣⎢I−−0⎤⎦⎥

Ax=b的解有一个或0个解；

r=n

⎡⎣⎢I−−0F−−0⎤⎦⎥

其中I和F会混合，因为主元不一定都刚好挨着。Ax=b的解有0个或一个或无穷个解；