拓扑排序

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一、什么是拓扑排序

在图论中，拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：

1. 每个顶点出现且只出现一次。
2. 若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

有向无环图（DAG）才有拓扑排序，非DAG图没有拓扑排序一说。

例如，下面这个图：

它是一个 DAG 图，那么如何写出它的拓扑排序呢？这里说一种比较常用的方法：

1. 从 DAG 图中选择一个 没有前驱（即入度为0）的顶点并输出。
2. 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
3. 重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。

于是，得到拓扑排序后的结果是 { 1, 2, 4, 3, 5 }。

通常，一个有向无环图可以有一个或多个拓扑排序序列。

二、拓扑排序的应用

拓扑排序通常用来“排序”具有依赖关系的任务。

比如，如果用一个DAG图来表示一个工程，其中每个顶点表示工程中的一个任务，用有向边<A,B>表示在做任务 B 之前必须先完成任务 A。故在这个工程中，任意两个任务要么具有确定的先后关系，要么是没有关系，绝对不存在互相矛盾的关系（即环路）。

三、拓扑排序的实现

根据上面讲的方法，我们关键是要维护一个入度为0的顶点的集合。

图的存储方式有两种：邻接矩阵和邻接表。这里我们采用邻接表来存储图，C++代码如下：

#include<iostream>#include <list>#include <queue>using namespace std;/************************类声明************************/class Graph{    int V;             // 顶点个数    list<int> *adj;    // 邻接表    queue<int> q;      // 维护一个入度为0的顶点的集合    int* indegree;     // 记录每个顶点的入度public:    Graph(int V);                   // 构造函数    ~Graph();                       // 析构函数    void addEdge(int v, int w);     // 添加边    bool topological_sort();        // 拓扑排序};/************************类定义************************/Graph::Graph(int V){    this->V = V;    adj = new list<int>[V];    indegree = new int[V];  // 入度全部初始化为0    for(int i=0; i<V; ++i)        indegree[i] = 0;}Graph::~Graph(){    delete [] adj;    delete [] indegree;}void Graph::addEdge(int v, int w){    adj[v].push_back(w);     ++indegree[w];}bool Graph::topological_sort(){    for(int i=0; i<V; ++i)        if(indegree[i] == 0)            q.push(i);         // 将所有入度为0的顶点入队    int count = 0;             // 计数，记录当前已经输出的顶点数     while(!q.empty())    {        int v = q.front();      // 从队列中取出一个顶点        q.pop();        cout << v << " ";      // 输出该顶点        ++count;        // 将所有v指向的顶点的入度减1，并将入度减为0的顶点入栈        list<int>::iterator beg = adj[v].begin();        for( ; beg!=adj[v].end(); ++beg)            if(!(--indegree[*beg]))                q.push(*beg);   // 若入度为0，则入栈    }    if(count < V)        return false;           // 没有输出全部顶点，有向图中有回路    else        return true;            // 拓扑排序成功}

测试如下DAG图：

int main(){    Graph g(6);   // 创建图    g.addEdge(5, 2);    g.addEdge(5, 0);    g.addEdge(4, 0);    g.addEdge(4, 1);    g.addEdge(2, 3);    g.addEdge(3, 1);    g.topological_sort();    return 0;}
输出结果是 4, 5, 2, 0, 3, 1。这是该图的拓扑排序序列之一。
每次在入度为0的集合中取顶点，并没有特殊的取出规则，随机取出也行，这里使用的queue。取顶点的顺序不同会得到不同的拓扑排序序列，当然前提是该图存在多个拓扑排序序列。
由于输出每个顶点的同时还要删除以它为起点的边，故上述拓扑排序的时间复杂度为O(V+E)。