网络流24题-9

方格取数问题

«问题描述:
在一个有 m*n 个方格的棋盘中,每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数,使任
意 2 个数所在方格没有公共边,且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。
«编程任务:
对于给定的方格棋盘,按照取数要求编程找出总和最大的数。
«数据输入:
由文件 input.txt 提供输入数据。文件第 1 行有 2 个正整数 m 和 n,分别表示棋盘的行数
和列数。接下来的 m 行,每行有 n 个正整数,表示棋盘方格中的数。
«结果输出:
程序运行结束时,将取数的最大总和输出到文件 output.txt 中。
输入文件示例
input.txt
3 3
1 2 3
3 2 3
2 3 1
输出文件示例
output.txt
11

【问题分析】

二分图点权最大独立集，转化为最小割模型，从而用最大流解决。

【建模方法】

首先把棋盘黑白染色，使相邻格子颜色不同，所有黑色格子看做二分图X集合中顶点，白色格子看做Y集合顶点，建立附加源S汇T。

1、从S向X集合中每个顶点连接一条容量为格子中数值的有向边。
2、从Y集合中每个顶点向T连接一条容量为格子中数值的有向边。
3、相邻黑白格子Xi,Yj之间从Xi向Yj连接一条容量为无穷大的有向边。

求出网络最大流，要求的结果就是所有格子中数值之和减去最大流量。

【建模分析】

这是一个二分图最大点权独立集问题，就是找出图中一些点，使得这些点之间没有边相连，这些点的权值之和最大。独立集与覆盖集是互补的，求最大点权独立集可以转化为求最小点权覆盖集（最小点权支配集）。最小点权覆盖集问题可以转化为最小割问题解决。结论:最大点权独立集 = 所有点权 - 最小点权覆盖集 = 所有点权 - 最小割集 = 所有点权 - 网络最大流。

对于一个网络，除去冗余点（不存在一条ST路径经过的点），每个顶点都在一个从S到T的路径上。割的性质就是不存在从S到T的路径，简单割可以认为割边关联的非ST节点为割点，而在二分图网络流模型中每个点必关联到一个割点（否则一定还有增广路，当前割不成立），所以一个割集对应了一个覆盖集（支配集）。最小点权覆盖集就是最小简单割，求最小简单割的建模方法就是把XY集合之间的变容量设为无穷大，此时的最小割就是最小简单割了。

有关二分图最大点权独立集问题，更多讨论见《最小割模型在信息学竞赛中的应用》作者胡伯涛。

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等本辣鸡看完上面的证明来写。。