算法：动态规划——最长公共子序列（LCS）

转自：http://blog.163.com/zhaohai_1988/blog/static/2095100852012792947765    

    最长公共子序列的意思就是寻找两个给定字符串的的子序列，该子序列在两个字符串中以相同的次序出现，但是不一定是连续的。（连续的那是子串）

    例如序列X=ABCBDAB，Y=BDCABA。序列BCA是X和Y的一个公共子序列，但是不是X和Y的最长公共子序列，子序列BCBA是X和Y的一个LCS，序列BDAB也是。

   思路：   

    最长公共子序列是动态规划（DP）的典型例子。

    设X=<x₁,x₂,…,x_m>和Y=<y₁,y₂,…,y_n>为两个字符串，LCS(X,Y)表示X和Y的一个最长公共子序列，可以看出

1. 如果x_m=y_n，则LCS ( X,Y ) = x_m + LCS ( X_m-1,Y_n-1 )。
2. 如果x_m!=y_n，则LCS( X,Y )= max{ LCS ( X_m-1, Y ), LCS ( X, Y_n-1 ) }

    LCS问题也具有重叠子问题性质：为找出X和Y的一个LCS，可能需要找X和Y_n-1的一个LCS以及X_m-1和Y的一个LCS。但这两个子问题都包含着找X_m-1和Y_n-1的一个LCS，等等.

DP最终处理的还是数值（极值做最优解），找到了最优值，就找到了最优方案；为了找到最长的LCS，我们定义dp[i][j]记录序列LCS的长度，合法状态的初始值为当序列X的长度为0或Y的长度为0，公共子序列LCS长度为0，即dp[i][j]=0，所以用i和j分别表示序列X的长度和序列Y的长度，状态转移方程为

1. dp[i][j] = 0  如果i=0或j=0
2. dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1  如果X[i-1] = Y[i-1] （X[i-1]就是X数组中的第i个）
3. dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] }  如果X[i-1] != Y[i-1]

#include<iostream>#include<string>#include<vector>using namespace std;int main(){        string strx,stry;cin>>strx>>stry;int nx = strx.length();int ny = stry.length();vector<vector<int>> vecall;for (int i=0;i<=nx;i++){vector<int> vec(ny+1,0);vecall.push_back(vec);}for (int i=1;i<=nx;i++){for (int j=1;j<=ny;j++){if (strx[i-1]==stry[j-1]){vecall[i][j]=vecall[i-1][j-1]+1;}else if (vecall[i-1][j]>vecall[i][j-1]){vecall[i][j]=vecall[i-1][j];}else{vecall[i][j]=vecall[i][j-1];}}}int ans = vecall[nx][ny];//最长公共子序列长度cout<<ans<<endl;int i=nx;int j=ny;string lcs(ans,' ');while (i && j)//找出最长公共子序列{if (strx[i-1]==stry[j-1] && vecall[i][j]==vecall[i-1][j-1]+1){lcs[--ans]=strx[i-1];i--,j--;}else if (vecall[i-1][j]>vecall[i][j-1]){i--;}else{j--;}}for (i=0;i<lcs.length();i++){cout<<lcs[i];//打印最长公共子序列}return 0;}