求两数的最大公约数和最小公倍数的方法

先说求最小公倍数的方法，很简单：

记a,b的最大公约数为 ma = (a, b)，最小公倍数mi = [a, b]。

则 mi = a * b / ma;

原理简单： mi = ( a / ma ) * ( b / ma ) * ma = a * b / ma。

最大公约数求法较多 参阅 百度百科 “最大公约数” https://baike.baidu.com/item/最大公约数/869308?fr=aladdin

主要说其中的两种 1 辗转相除法 2 更损相减术

1 辗转相除法

方法： 求 a b两数的最大公约数，

1) 令 k = a%b，若k=0，则最大公约数为b

2) 否则，令 a = b, b= k;再进行1）

其原理为：

因为 ma = (a, b)； 不妨设 a >= b， 则有 m*a + n*b 能被ma整除，即 (m*a + n*b) % ma =0

若 a / b = s ...... y ， 即 a%b=y，则有 a = b*s + y ; 移项可得：

y = a - b*s; 又因为 (m*a + n*b) % ma =0， 则有 y % ma = 0；

即 (a, b) = (b, y);

2 更损相减术

方法：

1） 若a,b 两数均为偶数，则均除以2以约简，直到两数中至少有一数不为偶数

2）用大数减去小数，即 a - b = c， 并 更新值 a = b, b = c (b>=c) ， 重复相减，c=0; 则 最大公约数为当前的b（或a）值。

原理：

不妨设a > b，设 ma =  ( a, b )， a = m * ma，b = n * ma；则有m > n，

经过一次相减， c = a - b = (m - n)*ma; 

若m - n >= n; 此时更新a = (m - n)*ma; b = n*ma，

若m - n <  n; 此时更新a = n*ma; b =  (m - n)*ma，

显然经过若干次相减后 a - b = ma。