codeforces 455E Convex hull trick

简略题意：给出n个数a[i]，回答m次询问(xi,yi)，每次回答f(xi,yi)是多少。
∗f(1,j)=a[j],1≤j≤n.
∗f(i,j)=min(f(i−1,j),f(i−1,j−1))+a[j],2≤i≤n,i≤j≤n.

考虑暴力，对于一个询问(i,j), 必然会递归到底层的某个位置，设为(1,s)，则a[s]必然是[s,j]区间的最小值，且被选择的次数最多。
*简略证明：如果存在某个t满足t<s,a[t]>a[s]，则这样得到的值必然大于在s处的值。并且对于能到达同样结尾的值，选择小值次数多的必然更小。

那么假定我们已知(1,s),想求f(x, y)，则答案为ans=sum[y]−sum[s]+(x−(y−s))∗a[s].
转化一下形式得ans−sum[y]=(x−y)∗a[s]+s∗a[s]−sum[s]，会发现这是一个形如y=kx+b的形式，a[s],s∗a[s]−sum[s]都是可以预处理的定值，那么给出一组(x,y)，相当于已知x,给出若干条线段，求最大的y。

我们就把问题转化成了Convex hull trick可以处理的问题。

线段树存Cht, 每个区间拆开单独询问即可, 复杂度O(nlognlogn)。

#include <bits/stdc++.h>#define all(x) x.begin(), x.end()using namespace std;typedef long long LL;const int maxn = 110000;int n;struct line {    LL k, b;    LL getval(LL x) {        return k * x + b;    }    bool operator < (const line & rhs) const {        return k > rhs.k || (k == rhs.k && b < rhs.b);    }} ll[maxn];LL a[maxn], sum[maxn];double pos(line a, line b) {    return 1.0*(b.b-a.b)/(a.k-b.k);}LL ans, px;struct A {    vector<line> V;    void getx(LL x) {        LL L = 0, R = V.size() - 1, M;        while(L < R) {            M = (L + R) >> 1;            M++;            if(pos(V[M-1], V[M]) > px) R = M - 1;            else L = M;        }        ans = min(ans, V[L].getval(px));    }    void show() {        for(int i = 0; i < V.size(); i++)            cout<<V[i].k<<" "<<V[i].b<<endl;    }} tr[maxn<<2];void build(int l, int r, int rt) {    vector<line> ss;    for(int i = l; i <= r; i++) ss.push_back(ll[i]);    sort(all(ss));    auto &buf = tr[rt].V;    buf.push_back(ss[0]);    for(int i = 1; i < ss.size(); i++) {        if(ss[i].k < ss[i-1].k) {            while(buf.size() >= 2 && pos(buf[buf.size()-2], buf[buf.size()-1]) >= pos(buf[buf.size()-2], ss[i]))                buf.pop_back();            buf.push_back(ss[i]);        }    }    if(l == r) return ;    int m = (l + r) >> 1;    build(l, m, rt<<1);    build(m+1, r, rt<<1|1);}void ask(int L, int R, int l, int r, int rt) {    if(L <= l && R >= r) {        tr[rt].getx(px);        return ;    }    int m = (l + r) >> 1;    if(L <= m) ask(L, R, l, m, rt<<1);    if(R > m) ask(L, R, m+1, r, rt<<1|1);}int main() {    scanf("%d", &n);    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]), sum[i] = sum[i-1] + a[i], ll[i].k = a[i], ll[i].b = i*a[i]-sum[i];    build(1, n, 1);    int q;    scanf("%d", &q);    while(q--) {        LL x, y;        scanf("%lld%lld", &x, &y);        ans = 1e18, px = x - y;        ask(y-x+1, y, 1, n, 1);        printf("%lld\n", ans + sum[y]);    }    return 0;}