损失函数为什么用平方形式（二）

我们在以前谈过《线性回归损失函数为什么要用平方形式》，除了这篇文章中提到的理由外。还有什么依据呢？

平方形式的损失函数一般为：

C=12∑i=1n(yi−yˆi)2

这称为SSE（The sum of squares due to error），误差平方和。

还有一种称为MSE(Mean Squared Error)，均方差。

C=12n∑i=1n(yi−yˆi)2

这两种形式本质上是等价的。只是MSE计算得到的值比SSE计算得到的值要小，因为除了一个n。误差平方和以及均方差的公式中有系数1/2，是为了求导后，系数被约去。

它们都是平方形式，一个重要原因是：误差的平方形式是正的，是正数。这样正的误差和负的误差不会相互抵消。这就是为什么不用一次方，三次方的原因。

但是，误差的绝对值也是正的，为什么不用绝对值呢。所有还有第二个重要原因是：平方形式对大误差的惩罚大于小误差。例如：

(10−5)2=25，|10−5|=5

(10−8)2=4，|10−8|=2

一个是25：4，一个是5：2，显然平方形式对大误差的惩罚更大。

此外，还有第三个重要原因：平方形式对数学运算也更友好。我们经常要求损失函数的导数，平方形式求导后变成一次函数；而绝对值形式对求导数学运算很不友好，需要分段求导。

此外，4次方，6次方，8次方虽然也能避免误差正负相抵消，但对大误差的惩罚又过大了；此外，求导后也仍然是多次函数。