【频繁项集挖掘】FP-growth算法原理

FP-growth，FP表示frequent pattern。它通过在内存中构建FP-tree，减少了描述数据库的次数，减少了候选频繁项集的个数。FP-tree主要通过前缀共享的树结构方式，寻找频繁项。FP-tree其实是一棵前缀树，按支持度降序排列，支持度越高的频繁项离根节点越近，从而使得更多的频繁项可以共享前缀。

 

1. 问题定义

图1 购物篮数据的二元表示

　　图1表示顾客的购物篮数据，其中每一行是每位顾客的购物记录，对应一个事务，而每一列对应一个项。令I={i₁, i₂, ... , i_d}是购物篮数据中所有项的集合，而T={t₁, t₂, ... , t_N}是所有事务的集合。每个事务t_i包含的项集都是I的子集。在关联分析中，包含0个或多个项的集合被称为项集（itemset）。所谓的关联规则是指形如X→Y的表达式，其中X和Y是不相交的项集。在关联分析中，有两个重要的概念——支持度（support）和置信度（confidence）。支持度确定规则可以用于给定数据集的频繁程度，而置信度确定Y在包含X的事务中出现的频繁程度。支持度（s）和置信度（c）这两种度量的形式定义如下：

公式1

　　其中，N是事务的总数。关联规则的支持度很低，说明该规则只是偶然出现，没有多大意义。另一方面，置信度可以度量通过关联规则进行推理的可靠性。因此，大多数关联分析算法采用的策略是：

（1）频繁项集产生：其目标是发现满足最小支持度阈值的所有项集，这些项集称作频繁项集。

（2）规则的产生：其目标是从上一步发现的频繁项集中提取所有高置信度的规则，这些规则称作强规则。

 

2. 构建FP-tree

　　FP-growth算法通过构建FP-tree来压缩事务数据库中的信息，从而更加有效地产生频繁项集。FP-tree其实是一棵前缀树，按支持度降序排列，支持度越高的频繁项离根节点越近，从而使得更多的频繁项可以共享前缀。

图2 事务型数据库

　　图2表示用于购物篮分析的事务型数据库。其中，a，b，...，p分别表示客户购买的物品。首先，对该事务型数据库进行一次扫描，计算每一行记录中各种物品的支持度，然后按照支持度降序排列，仅保留频繁项集，剔除那些低于支持度阈值的项，这里支持度阈值取3，从而得到<(f:4)，(c:4)，(a:3)，(b:3)，(m:3，(p:3)>（由于支持度计算公式中的N是不变的，所以仅需要比较公式中的分子）。图2中的第3列展示了排序后的结果。

　　FP-tree的根节点为null，不表示任何项。接下来，对事务型数据库进行第二次扫描，从而开始构建FP-tree：

　　第一条记录<f，c，a，m，p>对应于FP-tree中的第一条分支<(f:1)，(c:1)，(a:1)，(m:1)，(p:1)>：

图3 第一条记录

　　由于第二条记录<f，c，a，b，m>与第一条记录有相同的前缀<f，c，a>，因此<f，c，a>的支持度分别加一，同时在(a:2)节点下添加节点(b:1)，(m:1)。所以，FP-tree中的第二条分支是<(f:2)，(c:2)，(a:2)，(h:1)，(m:1)>：

图4 第二条记录

　　第三条记录<f，b>与前两条记录相比，只有一个共同前缀<f>，因此，只需要在(f:3)下添加节点<b:1>：

图5 第三条记录

　　第四条记录<c，b，p>与之前所有记录都没有共同前缀，因此在根节点下添加节点(c:1)，(b:1)，(p:1)：

图6 第四条记录

　　类似地，将第五条记录<f，c，a，m，p>作为FP-tree的一个分支，更新相关节点的支持度：

图7 第五条记录

 　　为了便于对整棵树进行遍历，建立一张项的头表（an item header table）。这张表的第一列是按照降序排列的频繁项。第二列是指向该频繁项在FP-tree中节点位置的指针。FP-tree中每一个节点还有一个指针，用于指向相同名称的节点：

图8 FP-tree

　　

3. 从FP-tree中挖掘频繁模式（Frequent Patterns）

　　我们从头表的底部开始挖掘FP-tree中的频繁模式。在FP-tree中以p结尾的节点链共有两条，分别是<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(m:2)，(p:2)>和<(c:1)，(b:1)，(p:1)>。其中，第一条节点链表表示客户购买的物品清单<f，c，a，m，p>在数据库中共出现了两次。需要注意到是，尽管<f，c，a>在第一条节点链中出现了3次，单个物品<f>出现了4次，但是它们与p一起出现只有2次，所以在条件FP-tree中将<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(m:2)，(p:2)>记为<(f:2)，(c:2)，(a:2)，(m:2)，(p:2)>。同理，第二条节点链表示客户购买的物品清单<c，b，p>在数据库中只出现了一次。我们将p的前缀节点链<(f:2)，(c:2)，(a:2)，(m:2)>和<(c:1)，(b:1)>称为p的条件模式基（conditional pattern base）。我们将p的条件模式基作为新的事务数据库，每一行存储p的一个前缀节点链，根据第二节中构建FP-tree的过程，计算每一行记录中各种物品的支持度，然后按照支持度降序排列，仅保留频繁项集，剔除那些低于支持度阈值的项，建立一棵新的FP-tree，这棵树被称之为p的条件FP-tree：

图9 p的条件FP-tree

　　从图9可以看到p的条件FP-tree中满足支持度阈值的只剩下一个节点(c:3)，所以以p结尾的频繁项集有(p:3)，(cp:3)。由于c的条件模式基为空，所以不需要构建c的条件FP-tree。

　　在FP-tree中以m结尾的节点链共有两条，分别是<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(m:2)>和<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(b:1)，(m:1)>。所以m的条件模式基是<(f:2)，(c:2)，(a:2)>和<(f:1)，(c:1)，(a:1)，(b:1)>。我们将m的条件模式基作为新的事务数据库，每一行存储m的一个前缀节点链，计算每一行记录中各种物品的支持度，然后按照支持度降序排列，仅保留频繁项集，剔除那些低于支持度阈值的项，建立m的条件FP-tree:

图10 m的条件FP-tree

　　与p不同，m的条件FP-tree中有3个节点，所以需要多次递归地挖掘频繁项集mine(<(f:3)，(c:3)，(a:3)|(m:3)>)。按照<(a:3)，(c:3)，(f:3)>的顺序递归调用mine(<(f:3)，(c:3)|a，m>)，mine(<(f:3)|c，m>)，mine(null|f，m)。由于(m:3)满足支持度阈值要求，所以以m结尾的频繁项集有{(m:3)}。

图11 节点(a，m)的条件FP-tree

　　从图11可以看出，节点(a，m)的条件FP-tree有2个节点，需要进一步递归调用mine(<(f:3)|c，a，m>)和mine(<null|f，a，m>)。进一步递归mine(<(f:3)|c，a，m>)生成mine(<null|f，c，a，m>)。因此，以(a，m)结尾的频繁项集有{(am:3)，(fam:3)，(cam:3)，(fcam:3)}。

　　

图 12 节点(c，m)的条件FP-tree

　　从图12可以看出，节点(c，m)的条件FP-tree只有1个节点，所以只需要递归调用mine(<null|f，c，m>)。因此，以(c，m)结尾的频繁项集有{(cm:3)，(fcm:3)}。同理，以(f，m)结尾的频繁项集有{(fm:3)}。

　　在FP-tree中以b结尾的节点链共有三条，分别是<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(b:1)>，<(f:4)，(b:1)>和<(c:1)，(b:1)>。由于节点b的条件模式基<(f:1)，(c:1)，(a:1)>，<(f:1)>和<(c:1)>都不满足支持度阈值，所以不需要再递归。因此，以b结尾的频繁项集只有(b:3)。

　　同理可得，以a结尾的频繁项集{(fa:3)，(ca:3)，(fca:3)，(a:3)}，以c结尾的频繁项集{(fc:3)，(c:4)}，以f结尾的频繁项集{(f:4)}。

转载自：http://www.cnblogs.com/datahunter/p/3903413.html