二叉查找树

一、二叉查找树的定义

定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。

在二叉查找树中：
(1) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
(2) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
(3) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
(4) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。

二、二叉查找树的C实现

1. 节点定义
1.1 节点定义

typedef int Type;typedef struct BSTreeNode{    Type   key;                    // 关键字(键值)    struct BSTreeNode *left;    // 左孩子    struct BSTreeNode *right;    // 右孩子    struct BSTreeNode *parent;    // 父结点}Node, *BSTree;

二叉查找树的节点包含的基本信息：
(1) key – 它是关键字，是用来对二叉查找树的节点进行排序的。
(2) left – 它指向当前节点的左孩子。
(3) right – 它指向当前节点的右孩子。
(4) parent – 它指向当前节点的父结点。

1.2 创建节点

static Node* create_bstree_node(Type key, Node *parent, Node *left, Node* right){    Node* p;    if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)        return NULL;    p->key = key;    p->left = left;    p->right = right;    p->parent = parent;    return p;}

2 遍历
2.1 前序遍历

若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 访问根结点；
(02) 先序遍历左子树；
(03) 先序遍历右子树。

前序遍历代码

void preorder_bstree(BSTree tree){    if(tree != NULL)    {        printf("%d ", tree->key);        preorder_bstree(tree->left);        preorder_bstree(tree->right);    }}

2.2 中序遍历

若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 中序遍历左子树；
(02) 访问根结点；
(03) 中序遍历右子树。

中序遍历代码

void inorder_bstree(BSTree tree){    if(tree != NULL)    {        inorder_bstree(tree->left);        printf("%d ", tree->key);        inorder_bstree(tree->right);    }}

2.3 后序遍历

若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 后序遍历左子树；
(02) 后序遍历右子树；
(03) 访问根结点。

后序遍历代码

void postorder_bstree(BSTree tree){    if(tree != NULL)    {        postorder_bstree(tree->left);        postorder_bstree(tree->right);        printf("%d ", tree->key);    }}

通过以下例子介绍这些遍历方法

对于上面的二叉树而言，
(01) 前序遍历结果： 3 1 2 5 4 6
(02) 中序遍历结果： 1 2 3 4 5 6
(03) 后序遍历结果： 2 1 4 6 5 3

注意：二叉搜索树的 中序遍历是有序的

3. 查找
递归版本的代码

Node* bstree_search(BSTree x, Type key){    if (x==NULL || x->key==key)        return x;    if (key < x->key)        return bstree_search(x->left, key);    else        return bstree_search(x->right, key);}

非递归版本的代码

Node* iterative_bstree_search(BSTree x, Type key){    while ((x!=NULL) && (x->key!=key))    {        if (key < x->key)            x = x->left;        else            x = x->right;    }    return x;}

4.最大值和最小值

查找最大值的代码

Node* bstree_maximum(BSTree tree){    if (tree == NULL)        return NULL;    while(tree->right != NULL)        tree = tree->right;    return tree;}

查找最小值代码

Node* bstree_minimun(BSTree tree){    if(tree!=NULL)        return NULL;    while(tree->left!=NULL)        tree=tree->left;    return tree;}

5.前驱和后继
节点的前驱：是该节点的左子树中的最大节点。
节点的后继：是该节点的右子树中的最小节点。
查找前驱节点的代码

Node* bstree_predecessor(Node *x){    // 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。    if (x->left != NULL)        return bstree_maximum(x->left);    // 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：    // (1) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。    // (2) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找       //到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。    Node* y = x->parent;    while ((y!=NULL) && (x==y->left))    {        x = y;        y = y->parent;    }    return y;}

查找后继节点的代码

Node* bstree_successor(Node *x){    // 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。    if (x->right != NULL)        return bstree_minimum(x->right);    // 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：    // (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。    // (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。    Node* y = x->parent;    while ((y!=NULL) && (x==y->right))    {        x = y;        y = y->parent;    }    return y;}

6.插入

插入节点的代码

static Node* bstree_insert(BSTree tree, Node *z){    Node *y = NULL;    Node *x = tree;    // 查找z的插入位置    while (x != NULL)    {        y = x;        if (z->key < x->key)            x = x->left;        else            x = x->right;    }    z->parent = y;    if (y==NULL)        tree = z;    else if (z->key < y->key)        y->left = z;    else        y->right = z;    return tree;}Node* insert_bstree(BSTree tree, Type key){    Node *z;    // 新建结点    // 如果新建结点失败，则返回。    if ((z=create_bstree_node(key, NULL, NULL, NULL)) == NULL)        return tree;    return bstree_insert(tree, z);}

bstree_insert(tree, z)是内部函数，它的作用是：将结点(z)插入到二叉树(tree)中，并返回插入节点后的根节点。
insert_bstree(tree, key)是对外接口，它的作用是：在树中新增节点，key是节点的值；并返回插入节点后的根节点。

注：本文实现的二叉查找树是允许插入相同键值的节点的！若用户不希望插入相同键值的节点，将bstree_insert()修改为以下代码即可。

static Node* bstree_insert(BSTree tree, Node *z){    Node *y = NULL;    Node *x = tree;    // 查找z的插入位置    while (x != NULL)    {        y = x;        if (z->key < x->key)            x = x->left;        else  if (z->key > x->key)            x = x->right;        else        {            free(z); // 释放之前分配的系统。            return tree;        }    }    z->parent = y;    if (y==NULL)        tree = z;    else if (z->key < y->key)        y->left = z;    else        y->right = z;    return tree;}

7.删除
删除某个结点后依然要保持二叉查找树的特性。例子中的删除过程如下：

a、若删除点是叶子结点，则设置其双亲结点的指针为空。b、若删除点只有左子树，或只有右子树，则设置其双亲结点的指针指向左子树或右子树。c、若删除点的左右子树均不为空，则：  1）、查询删除点的右子树的左子树是否为空，若为空，则把删除点的右子树替换删除点    2）、若不为空，则继续查询左子树，直到找到最底层的左子树为止。

删除节点的代码

static Node* bstree_delete(BSTree tree, Node *z){    Node *x=NULL;    Node *y=NULL;    //z节点如果只有一个孩子或者没有孩子，直接删除让y=z    if ((z->left == NULL) || (z->right == NULL) )        y = z;    //如果有两个孩子，找到z的后继节点    else        y = bstree_successor(z);    //后继节点肯定是没有左孩子的    x = y->right;    //后继节点的有右孩子，让右孩子移到y的位置    if (x != NULL)        x->parent = y->parent;    if (y->parent == NULL)        tree = x;    else if (y == y->parent->left)        y->parent->left = x;    else        y->parent->right = x;    if (y != z)         z->key = y->key;    if (y!=NULL)        free(y);    return tree;}Node* delete_bstree(BSTree tree, Type key){    Node *z, *node;     if ((z = bstree_search(tree, key)) != NULL)        tree = bstree_delete(tree, z);    return tree;}