关于{1,2,...,n}的子集和的一个有趣结论

参考文献：https://math.berkeley.edu/~lpachter/papers/modpaper2.pdf

令Sn=1,2,...,n,求Sn的子集中满足和模n同余k的个数Nkn(0≤k<n)

引理1. 令Pn(x)=∏i=1n(1+xi)=∑i=0n(n+1)2an,ixi，wn=e2πin为n次单位根，则Nkn=∑san,sn+k

证明：Pn(x)即为Sn的子集和为某定值的方案数的生成函数，则显然an,r为Sn的子集和为r的方案数

          进而Nkn=∑san,sn+k

引理2. 对非负整数s，

∑j=1nwsjn={0,n,n∤sn|s

证明：若n∤s，则wsn=e2πisn≠1，∑j=1nwsjn=wsn(wnsn−1)wsn−1=0

          若n|s，则wsjn=(e2πisn)j=1，∑j=1nwsjn=n

引理3. Nkn=1n∑j=1nw−kjnPn(wjn)

证明：

∑j=1nw−kjnPn(wjn)=∑j=1nw−kjn∑r=1nan,rwrjn=∑r=1nan,r∑j=1nwj(r−k)n(由引理2)=∑r=1nan,r∑n|r−kn=n∑san,sn+k(由引理1)=nNkn

引理4. Pn(wjn)=(Pn(n,j)(wn(n,j)))(n,j)

证明：

Pn(wjn)=∏r=1n(1+(wjn)r(n,j)(n,j))=∏r=1n(1+(w(n,j)n)jr(n,j))=∏r=1n(1+(wn(n,j))jr(n,j))=∏r=1n(1+(wj(n,j)n(n,j))r)

          因为(j(n,j),n(n,j))=1，故wj(n,j)n(n,j)是n(n,j)次单位根，进而当j从1变化到n时，每一个wj(n,j)n(n,j)出现(n,j)次，且对每个j ，wjr(n,j)n(n,j),r=1,..,n(n,j)是wrn(n,j),r=1,..,n(n,j)的一个排列，进而

Pn(wjn)=(∏r=1n(n,j)(1+(wj(n,j)n(n,j))r))(n,j)=(∏r=1n(n,j)(1+wrn(n,j)))(n,j)=(Pn(n,j)(wn(n,j)))(n,j)

引理5. Pr(wr)=1−(−1)r

证明：考虑方程xr−1=(x−wr)(x−w2r)...(x−wrr)

          代入x=−1得，(−1)r−1=(−1)r(1+wr)(1+w2r)...(1+wrr)=(−1)rPr(wr)

          进而有Pr(wr)=1−(−1)r

引理6.

Pn(wjn)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪2(n,j),0,n(n,j)是奇数n(n,j)是偶数

证明：

Pn(wjn)=(Pn(n,j)(wn(n,j)))(n,j)(由引理4)=(1−(−1)n(n,j))(n,j)（由引理5）=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪2(n,j),0,n(n,j)是奇数n(n,j)是偶数

引理7. 假设t|n,δ=nt，则

∑x∈Z×δw−ktxn=φ(δ)φ(δ(k,δ))∑x∈Z×δ(k,δ)wxδ(k,δ)

证明：注意到wtxn=wxδ，并且如果x∈Z×δ，则−x∈Z×δ，故有

∑x∈Z×δw−ktxn=∑x∈Z×δwkxδ=∑x∈Z×δwk(k,δ)xδ(k,δ)

          由于(k(k,δ),δ(k,δ))=1，故wk(k,δ)δ(k,δ)是δ(k,δ)次单位根，当x取遍Z×δ时，每一个wk(k,δ)δ(k,δ)会出现φ(δ)φ(δ(k,δ))次，且wk(k,δ)xδ(k,δ),x∈Z×δ(k,δ)是wxδ(k,δ),x∈Z×δ(k,δ)的一个排列，故有∑x∈Z×δw−ktxn=φ(δ)φ(δ(k,δ))∑x∈Z×δ(k,δ)wxδ(k,δ)

引理8. Φn(x)为n次分圆多项式，即Φn(x)=∏1≤r≤n;(r,n)=1(x−wrn)，则Φn(x)=∏r|n(xnr−1)μ(r)

证明：

xn−1=∏r=1n(x−wrn)=∏d|n∏1≤r≤n;(r,n)=d(x−wrn)=∏d|n∏1≤r≤n;(r,n)=d(x−wrdnd)=∏d|n∏1≤r≤nd;(r,nd)=1(x−wrnd)=∏d|nΦnd(x)=∏d|nΦd(x)

          由莫比乌斯反演得Φn(x)=∏r|n(xnr−1)μ(r)

引理9. Φn(x)=Φd(xm)，其中d是n的所有不同素因子之积，m=nd

证明：Φn(x)=∏r|n(xnr−1)μ(r)，Φd(xm)=∏s|d((xm)ds−1)μ(s)=∏s|d(xns−1)μ(s)

          注意到若r|n且r∤d，则r必有平方因子，进而μ(r)=0

          故∏r|n(xnr−1)μ(r)=∏r|d(xnr−1)μ(r) ，即Φn(x)=Φd(xm)

引理10. Φpn(x)=Φn(xp)(Φn(x))−1，其中p是素数且p∤n

证明：

Φpn(x)=∏r|pn(xnpr−1)μ(r)=∏r|pn;p∤r(xnpr−1)μ(r)∏r|pn;p|r(xnpr−1)μ(r)=∏r|n(xnpr−1)μ(r)∏s|n(xns−1)μ(sp)

          注意到s|n,p∤n且p是素数，故有(s,p)=1，进而μ(sp)=μ(s)μ(p)=−μ(s)

          故有Φpn(x)=Φn(xp)(Φn(x))−1

引理11. ∑t∈Z×nwtn=μ(n)

证明：Φn(x)=∏1≤r≤n;(r,n)=1(x−wrn)=xφ(n)−∑t∈Z×nwtnxφ(n)−1+...+(−1)φ(n)∏t∈Z×nwtn

          故∑t∈Z×nwtn是Φn(x)的属于xφ(n)−1的系数的相反数

          1.若存在一个素数p满足p2|n，此时μ(n)=0，由引理9，Φn(x)=Φd(xm)，其中p|d,p|m

          故对Φd(xm)的任一项，其次数必然被p整除，即p会整除Φn(x)的所有项的次数

          而φ(n)=mφ(d)，故p|φ(n)，进而p∤(φ(n)−1)，即此时Φn(x)的属于xφ(n)−1的系数是0

          2.若对于任意素数p均有p2∤n，即n为无平方因子数，记n=p1p2...pm,pi是互不相同的素数

          用数学归纳法证明，Φn(x)的属于xφ(n)−1的系数是(−1)m+1即证明该引理

          n=1时，∑t∈Z×1wt1=1=μ(1)，结论成立

          假设对所有n=p1p2...pm,pi是互不相同的素数结论均成立

          下证Φpn(x)的属于xφ(pn)−1的系数是(−1)m+2，其中p是与pi不同的素数

​           由引理10知Φpn(x)Φn(x)=Φn(xp)

​          Φpn(x)的最高次项为xφ(pn)，次高项为axφ(pn)−1

          Φn(x)的最高次项为xφ(n)，次高项为(−1)m+1xφ(n)−1

          故Φpn(x)Φn(x)的属于次高项xφ(pn)+φ(n)−1的系数为(−1)m+1+a

          而φ(pn)+φ(n)−1=(p−1)φ(n)+φ(n)−1=pφ(n)−1,p∤pφ(n)−1

          这意味着Φpn(x)的属于xpφ(n)−1的系数为0，即(−1)m+1+a=0，进而a=(−1)m+2

          由数学归纳法知结论成立

定理：Nkn=1n∑t|n;t为奇数2ntφ(t)φ(t(k,t))μ(t(k,t))

证明：由引理3，Nkn=1n∑j=1nw−kjnPn(wjn)

          由引理4，Nkn=1n∑j;n(n,j)是奇数w−kjn2(n,j)

          令t=n(n,j) ，Nkn=1n∑t|n;t是奇数2nt∑x∈Z×tw−kntxn

          由引理7，Nkn=1n∑t|n;t是奇数2ntφ(t)φ(t(n,t))∑x∈Z×t(k,t)wxt(k,t)

          由引理11，Nkn=1n∑t|n;t是奇数2ntφ(t)φ(t(n,t))μ(t(n,t))

          特别的，当k=0时，N0n=1n∑t|n;t是奇数2ntφ(t)