【微积分】第一讲极限与连续

来源：互联网发布：mac毛笔书法字体下载编辑：程序博客网时间：2024/06/01 07:28

第一讲极限与连续

一、极限定义

对任意小的一个波动（$\forall \varepsilon \gt 0$），都存在一个对应的$x$ 的波动半径（$\exists \delta \gt 0$），
使得当 $x$ 在 $x_0 - \delta$ 到$x_0+\delta$ 这个范围内波动时（$0 \lt |x-x_0| \lt \delta$），
函数值 $f(x)$ 可以在 $A-\varepsilon$ 到$A+\varepsilon$ 这个范围内波动（$|f(x)-A| \lt \varepsilon$）

1.1 函数的极限

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall \varepsilon \gt 0 ,\, \exists \delta \gt 0 ,\, 0 \lt |x - x_0| \lt \delta ,\, |f(x)-A| \lt \varepsilon \]

1.2 数列的极限

\[\lim_{n \to \infty} x_n = a \iff \forall \varepsilon \gt 0 ,\, \exists N \gt 0 ,\, n \gt N ,\, |x_n - a| \lt \varepsilon \]

二、极限性质

2.1 唯一性

若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 存在，则$A$唯一

左右极限相等：$\lim_{x \to x_0^-}f(x) = \lim_{x \to x_0^+}f(x) = A$
常见：指数函数、反三角函数、绝对值函数等的 $\lim_{x \to \infty}$ 不存在

2.2 局部有界性

若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，则 $\exists M \gt 0,\delta \gt 0$，当 $0 \lt |x-x_0| \lt \delta$ 时，恒有$|f(x)| \lt M$

讨论 $f(x)$ 在 $I$ 上的有界性：
若 $I$ 为 $[a,b]$，“连续函数$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有界”
若 $I$ 为 $(a,b)$，则需满足条件：
$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续
$\lim_{x \to a^+}f(x)$ 存在
$\lim_{x \to b^-}f(x)$ 存在
若 $\lim_{x \to ?} f(x)$ 不存在，看能否将 $f(x)$拆分为有限个有界函数相加或相乘
$有界\pm 有界 = 有界$
$有界 \times 有界 = 有界$

2.3 局部保号性

若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A \gt 0$，则 $x \to x_0$ 时，$f(x) \gt 0$

推论：若 $\exists \delta \gt 0$，$0 \lt |x-x0| \lt \delta$ 时，$f(x) \ge 0$，则 $ \lim_{x \to x_0} f(x) = A \ge 0$

三、洛必达法则

\[\lim_{x \to ?} \frac{f(x)}{g(x)} \xlongequal [\frac{\infty}{\infty}] {\frac{0}{0}} \lim_{x \to ?} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]

四、泰勒公式

$x \to 0$时，

\[\sin{x} = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)\]
\[\cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)\]
\[\tan{x} = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\]
\[\arcsin{x} = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)\]
\[\arctan{x} = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\]
\[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +o(x^4)\]
\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... +\frac{x^n}{n!}\]
\[\frac{1}{1-x} = 1 +x +x^2 + ... + x^n ,\,(|x| \lt 1)\]
\[(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +o(x^2)\]
\[\sqrt{1+x} = 1+ \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2)\]

五、常用等价无穷小

\[\lim_{x \to 0} \frac{A}{B} = 1 \iff A \sim B\]

$e^x-1 \sim x$$\ln(1+x) \sim x$$\sin{x} \sim x$$x - \sin{x} \sim \frac{1}{6}x^3$$\arcsin{x} \sim x$$x - \arcsin{x} \sim -\frac{1}{6}x^3 $$\tan{x} \sim x$$x - \tan{x} \sim -\frac{1}{3}x^3$$\arctan{x} \sim x$$x - \arctan{x} \sim \frac{1}{3}x^3$$1-\cos{x} \sim \frac{1}{2}x^2$$x^2-sin^2{x} \sim \frac{1}{3}x^4$$(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x$$x+\sin{x} \sim 2x$

六、函数极限的计算

6.1 化简先行（等价无穷小替换、恒等变形、消去更高阶无穷小）

$Term + Term \iff Term \cdot Term$

通过构造项累乘、创造分母通分，将式子最终化简为 $\frac{A}{B}$ 类型
设置分母为简单因式，可使求导结果简单（简单：$x^{\alpha}$、$e^{\beta x}$；复杂：$\ln{x}$、$\arcsin{x}$、$\arctan{x}$）
同类间比较，保留主要因素
略 高阶无穷小、低阶无穷大

6.2 判别类型（$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$、$\infty \cdot 0$、$\infty-\infty$、$\infty^0$、$0^0$、$1^{\infty}$）

$u^v = e^{v \ln{u}}$

6.3 使用工具（换元法、洛必达法则、泰勒展开相消）

泰勒展开相消时，注意保持分式上下同阶

6.4 注意条件（总结错误点）

利用题目已给数值条件或关系条件

七、数列极限的计算

若 $x_n$ 易于连续化，转换为函数极限计算
若 $x_n$ 不易于连续化，用 “夹逼准则”（或定积分定义）
若 $\{x_n\}$ 由递推式 $x_n = f(x_{n-1})$ 给出，用“单调有界准则”
单调有界准则：若 $x_n$ 单调，且有界，则 $\lim_{n \to \infty}$ 存在，$x_n$ 收敛
- 判断单调：$x_{n+1}-x_n \overset{?}{=} 0 $ 或 $\frac{x_{n+1}}{x_n} \overset{?}{=} 1$
  常用数学归纳法
- 求上下界：放缩法

八、函数的连续

若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续

而由函数极限存在条件（即左右极限存在且相等）可推之，
函数连续的充要条件：
$ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) $

九、函数的间断

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的某去心邻域内有定义（前提）

第一类间断点（ $ \lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 和 $ \lim_{x \to x_0^+} f(x)$均存在）
- 跳跃间断点： $ \lim_{x \to x_0^-} f(x) \ne \lim_{x \to x_0^+} f(x)$
  如：\[\lim_{x \to 0} \text{sgn}x\]
- 可去间断点： $ \lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$ （函数在此点可无定义）
  如：\[\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}\]
第二类间断点（ $ \lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 和 $ \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 至少有一个不存在）
- 无穷间断点：$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$
  如：\[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan{x}\]
- 振荡间断点：$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 振荡不存在
  如：\[\lim_{x \to 0} \sin{\frac{1}{x}}\]

阅读全文

0 0

【微积分】第一讲 极限与连续

第一讲 极限与连续