第5章 定积分

第一节 定积分的概念与性质

1. 定积分定义
   
   • 定义 设函数 f(x) 在 [a,b] 上有界，在 [a,b] 中任意插入若干个分点
     a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b
     把区间 [a,b] 分成 n 个小区间
     [x0,x1],[x1,x2],⋯,[xn−1,xn]
     各个小区间长度依次为
     Δx1=x1−x0,Δx2=x2−x1,⋯,Δxn=xn−xn−1
     在每个小区间 [xi−1,xi] 上任取一点 ξi(xi−1≤ξi≤xi)，作函数值 f(ξi) 与小区间长度 Δxi 的乘积 f(ξi)Δxi(i=1,2,cdots,n)，并作出和
     S=∑i=1nf(ξi)Δxi
     记 λ=max{Δx1,Δx2,⋯,Δxn}，如果不论对 [a,b] 怎样划分，也不论在小区间 [xi−1,xi] 上点 ξi 怎样选取，只要当 λ→0 时，和 S 总趋于确定的极限 I，那么称这个极限 I 为函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分(简称积分)，记作 ∫baf(x)dx，即
     ∫baf(x)dx=I=limλ→0∑i=1nf(ξi)Δxi
     其中 f(x) 叫做被积函数，f(x)dx 被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[a,b] 叫做积分区间。
   • 定理1 设 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则 f(x) 在 [a,b] 上可积。
   • 定理2 设 f(x) 在区间 [a,b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f(x) 在 [a,b] 上可积。
2. 定积分的性质
   
   • 补充规定
   • (1) 当 a=b 时， ∫baf(x)dx=0
   • (2) 当 a>b 时， ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx
   • 性质1 ∫ba[f(x)±g(x)]dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx
   • 性质2 ∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dxk 是常数
   • 性质3 设 a<c<b，则
     ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
   • 性质4 如果在区间 [a,b] 上 f(x)≡1，则
     ∫ba1dx=∫badx=b−a
   • 性质5 如果在区间 [a,b] 上，f(x)/ge0，则
     ∫baf(x)dx≥0(a<b)
   • 性质5推论1 如果在区间 [a,b] 上，f(x)≤g(x)，则
     ∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx(a<b)
   • 性质5推论2
     ∣∣∣∫baf(x)dx∣∣∣≤∫ba∣∣f(x)∣∣dx(a<b)
   • 性质6 设 M 及 m 分别是函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的最大值及最小值，则
     m(b−a)≤∫baf(x)dx≤M(b−a)(a<b)
   • 性质7(定积分中值定理) 如果函数 f(x) 在积分区间 [a,b] 上连续，则在 [a,b] 上至少存在一个点 ξ，使下式成立
     ∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)(a≤ξ≤b)

第二节 微积分基本公式

1. 积分上限的函数及其导数
   
   • 定理1 如果函数 f(x) 在区间 [a,b]上连续，则积分上限的函数
     Φ(x)=∫xaf(t)dt
     在 [a,b] 上可导，并且它的导数
     Φ′(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x)(a≤x≤b)
   • 定理2 如果函数 f(x) 在区间 [a,b]上连续，则积分上限的函数
     Φ(x)=∫xaf(t)dt
     就是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数。
2. 牛顿-莱布尼茨公式
   
   • 定理3(微积分的基本公式) 如果函数 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的一个原函数，则
     ∫baf(x)dx=F(b)−F(a)

第三节 定积分的换元法和分部积分法

1. 定积分的换元法
   
   • 定理 假设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，函数 x=φ(t) 满足条件
   • (1) φ(α)=a,φ(β)=b
   • (2) φ(t)在[α,beta] (或 [β,α] )上具有连续导数，且其值域 Rφ=[a,b]，则有
     ∫baf(x)dx=∫βαf[φ(t)]φ′(t)dt
2. 定积分的分部积分法

第四节 反常积分

1. 无穷限的反常积分
   
   • 定义1 设函数 f(x) 在区间 [a,+∞) 上连续，取 t>a，如果极限
     limt→+∞∫taf(x)dx
     存在，则称此极限为函数 f(x) 在无穷区间 [a,+∞) 上的反常积分，记作 ∫+∞af(x)dx，即
     f+∞af(x)dx=limt→+∞∫taf(x)dx
     ，这时也成反常积分 ∫+∞af(x)dx 收敛；如果上述极限不存在，则函数 f(x) 在无穷区间 [a,+∞) 上的反常积分 ∫+∞af(x)dx 就没有意义，习惯上称为反常积分 ∫+∞af(x)dx 发散，这时几号 ∫+∞af(x)dx 不再表示数值了。类似地，设函数 f(x) 在区间 (−∞,b] 上连续，取 t<b，如果极限
     limt→−∞∫btf(x)dx
     存在，则称此极限为函数 f(x) 在无穷区间 (−∞,b] 上的反常积分，记作 ∫b−∞f(x)dx，即
     ∫b−∞f(x)dx=limt→−∞∫btf(x)dx
     这时也成反常积分 ∫b−∞f(x)dx 收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分 ∫b−∞f(x)dx 发散。设函数 f(x) 在区间 (−∞,+∞) 上连续，如果反常积分
     ∫0−∞f(x)dx∫+∞0f(x)dx
     都收敛，则称上述两反常积分之和为函数 f(x) 在无穷区间 (−∞,+∞) 上的反常积分，记作 ∫+∞−∞f(x)dx，即
     ∫+∞−∞f(x)dx=∫0−∞f(x)dx+∫+∞0f(x)dx=limt→−∞∫0tf(x)dx+limt→+∞∫t0f(x)dx
     这时也称反常积分 ∫+∞−∞f(x)dx 收敛；否则就称反常积分 ∫+∞−∞f(x)dx 发散。
2. 无界函数的反常积分

第五节 反常积分的审敛法 Γ 函数

1. 无穷限反常积分的审敛法
2. 无界函数的反常积分的审敛法
3. Γ 函数