线段树入门详解
来源：互联网 发布：java debug模式 编辑：程序博客网 时间：2024/06/05 06:17
线段树
转载出处：http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8039326#t4
一：线段树基本概念
1：概述
线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!
性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍
2：基本操作（demo用的是查询区间最小值）
线段树的主要操作有：
(1)：线段树的构造 void build(int node, int begin, int end);
主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值
#include <iostream> using namespace std; const int maxind = 256; int segTree[maxind * 4 + 10]; int array[maxind]; /* 构造函数，得到线段树 */ void build(int node, int begin, int end) { if (begin == end) segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */ else { /* 递归构造左右子树 */ build(2*node, begin, (begin+end)/2); build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end); /* 回溯时得到当前node节点的线段信息 */ if (segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1]) segTree[node] = segTree[2 * node]; else segTree[node] = segTree[2 * node + 1]; } } int main() { array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3; build(1, 0, 5); for(int i = 1; i<=20; ++i) cout<< "seg"<< i << "=" <<segTree[i] <<endl; return 0; } (2)：区间查询int query(int node, int begin, int end, int left, int right);
（其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）
主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息
比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。但并不是所有的提问都这么容易回答，比如[0,3]，就没有哪一个节点记录了这个区间的最小值。当然，解决方法也不难找到：把[0,2]和[3,3]两个区间（它们在整数意义上是相连的两个区间）的最小值“合并”起来，也就是求这两个最小值的最小值，就能求出[0,3]范围的最小值。同理，对于其他询问的区间，也都可以找到若干个相连的区间，合并后可以得到询问的区间。
int query(int node, int begin, int end, int left, int right) { int p1, p2; /* 查询区间和要求的区间没有交集 */ if (left > end || right < begin) return -1; /* if the current interval is included in */ /* the query interval return segTree[node] */ if (begin >= left && end <= right) return segTree[node]; /* compute the minimum position in the */ /* left and right part of the interval */ p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right); p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right); /* return the expect value */ if (p1 == -1) return p2; if (p2 == -1) return p1; if (p1 <= p2) return p1; return p2; } (3)：区间或节点的更新 及 线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）
动态维护需要用到标记域，延迟标记等。
a:单节点更新
void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/ { if( begin == end ) { segTree[node] += add; return ; } int m = ( left + right ) >> 1; if(ind <= m) Updata(node * 2,left, m, ind, add); else Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add); /*回溯更新父节点*/ segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]); } b：区间更新（线段树中最有用的）
需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）
void Change来自dongxicheng.org
void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/ { if (a <= p->Left && p->Right <= b) /* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/ { ...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/ return; } Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/ int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点 if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/ if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/ Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/ } 二：典型模板
模板1：
RMQ，查询区间最值下标---min
#include<iostream> using namespace std; #define MAXN 100 #define MAXIND 256 //线段树节点个数 //构建线段树,目的:得到M数组. void build(int node, int b, int e, int M[], int A[]) { if (b == e) M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标 else { build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A); build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A); if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]]) M[node] = M[2 * node]; else M[node] = M[2 * node + 1]; } } //找出区间 [i, j] 上的最小值的索引 int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j) { int p1, p2; //查询区间和要求的区间没有交集 if (i > e || j < b) return -1; if (b >= i && e <= j) return M[node]; p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j); p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j); //return the position where the overall //minimum is if (p1 == -1) return M[node] = p2; if (p2 == -1) return M[node] = p1; if (A[p1] <= A[p2]) return M[node] = p1; return M[node] = p2; } int main() { int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标. memset(M,-1,sizeof(M)); int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5}; build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a); cout<<query(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl; return 0; } 模板2：
连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （此模板查询区间和）
#include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; #define lson l , m , rt << 1 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1 #define root 1 , N , 1 #define LL long long const int maxn = 111111; LL add[maxn<<2]; LL sum[maxn<<2]; void PushUp(int rt) { sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1]; } void PushDown(int rt,int m) { if (add[rt]) { add[rt<<1] += add[rt]; add[rt<<1|1] += add[rt]; sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1)); sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1); add[rt] = 0; } } void build(int l,int r,int rt) { add[rt] = 0; if (l == r) { scanf("%lld",&sum[rt]); return ; } int m = (l + r) >> 1; build(lson); build(rson); PushUp(rt); } void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) { if (L <= l && r <= R) { add[rt] += c; sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1); return ; } PushDown(rt , r - l + 1); int m = (l + r) >> 1; if (L <= m) update(L , R , c , lson); if (m < R) update(L , R , c , rson); PushUp(rt); } LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) { if (L <= l && r <= R) { return sum[rt]; } PushDown(rt , r - l + 1); int m = (l + r) >> 1; LL ret = 0; if (L <= m) ret += query(L , R , lson); if (m < R) ret += query(L , R , rson); return ret; } int main() { int N , Q; scanf("%d%d",&N,&Q); build(root); while (Q --) { char op[2]; int a , b , c; scanf("%s",op); if (op[0] == 'Q') { scanf("%d%d",&a,&b); printf("%lld\n",query(a , b ,root)); } else { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); update(a , b , c , root); } } return 0; } 三：练习题目
- hdu1166 敌兵布阵
- 题意:O(-1)
- 思路:O(-1)
线段树功能:update:单点增减 query:区间求和
code:
#include<cstring> #include<iostream> #define M 50005 #define lson l,m,rt<<1 #define rson m+1,r,rt<<1|1 /*left,right,root,middle*/ int sum[M<<2]; inline void PushPlus(int rt) { sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1]; } void Build(int l, int r, int rt) { if(l == r) { scanf("%d", &sum[rt]); return ; } int m = ( l + r )>>1; Build(lson); Build(rson); PushPlus(rt); } void Updata(int p, int add, int l, int r, int rt) { if( l == r ) { sum[rt] += add; return ; } int m = ( l + r ) >> 1; if(p <= m) Updata(p, add, lson); else Updata(p, add, rson); PushPlus(rt); } int Query(int L,int R,int l,int r,int rt) { if( L <= l && r <= R ) { return sum[rt]; } int m = ( l + r ) >> 1; int ans=0; if(L<=m ) ans+=Query(L,R,lson); if(R>m) ans+=Query(L,R,rson); return ans; } int main() { int T, n, a, b; scanf("%d",&T); for( int i = 1; i <= T; ++i ) { printf("Case %d:\n",i); scanf("%d",&n); Build(1,n,1); char op[10]; while( scanf("%s",op) &&op[0]!='E' ) { scanf("%d %d", &a, &b); if(op[0] == 'Q') printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1)); else if(op[0] == 'S') Updata(a,-b,1,n,1); else Updata(a,b,1,n,1); } } return 0; } hdu1754 I Hate It
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:单点替换 query:区间最值
#include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; #define lson l , m , rt << 1 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1 const int maxn = 222222; int MAX[maxn<<2]; void PushUP(int rt) { MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]); } void build(int l,int r,int rt) { if (l == r) { scanf("%d",&MAX[rt]); return ; } int m = (l + r) >> 1; build(lson); build(rson); PushUP(rt); } void update(int p,int sc,int l,int r,int rt) { if (l == r) { MAX[rt] = sc; return ; } int m = (l + r) >> 1; if (p <= m) update(p , sc , lson); else update(p , sc , rson); PushUP(rt); } int query(int L,int R,int l,int r,int rt) { if (L <= l && r <= R) { return MAX[rt]; } int m = (l + r) >> 1; int ret = 0; if (L <= m) ret = max(ret , query(L , R , lson)); if (R > m) ret = max(ret , query(L , R , rson)); return ret; } int main() { int n , m; while (~scanf("%d%d",&n,&m)) { build(1 , n , 1); while (m --) { char op[2]; int a , b; scanf("%s%d%d",op,&a,&b); if (op[0] == 'Q') printf("%d\n",query(a , b , 1 , n , 1)); else update(a , b , 1 , n , 1); } } return 0; } hdu1394 Minimum Inversion Number
题意:求Inversion后的最小逆序数
思路:用O(nlogn)复杂度求出最初逆序数后,就可以用O(1)的复杂度分别递推出其他解
线段树功能:update:单点增减 query:区间求和
#include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; #define lson l , m , rt << 1 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1 const int maxn = 5555; int sum[maxn<<2]; void PushUP(int rt) { sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1]; } void build(int l,int r,int rt) { sum[rt] = 0; if (l == r) return ; int m = (l + r) >> 1; build(lson); build(rson); } void update(int p,int l,int r,int rt) { if (l == r) { sum[rt] ++; return ; } int m = (l + r) >> 1; if (p <= m) update(p , lson); else update(p , rson); PushUP(rt); } int query(int L,int R,int l,int r,int rt) { if (L <= l && r <= R) { return sum[rt]; } int m = (l + r) >> 1; int ret = 0; if (L <= m) ret += query(L , R , lson); if (R > m) ret += query(L , R , rson); return ret; } int x[maxn]; int main() { int n; while (~scanf("%d",&n)) { build(0 , n - 1 , 1); int sum = 0; for (int i = 0 ; i < n ; i ++) { scanf("%d",&x[i]); sum += query(x[i] , n - 1 , 0 , n - 1 , 1); update(x[i] , 0 , n - 1 , 1); } int ret = sum; for (int i = 0 ; i < n ; i ++) { sum += n - x[i] - x[i] - 1; ret = min(ret , sum); } printf("%d\n",ret); } return 0; } hdu2795 Billboard
题意:h*w的木板,放进一些1*L的物品,求每次放空间能容纳且最上边的位子
思路:每次找到最大值的位子,然后减去L
线段树功能:query:区间求最大值的位子(直接把update的操作在query里做了)
#include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; #define lson l , m , rt << 1 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1 const int maxn = 222222; int h , w , n; int MAX[maxn<<2]; void PushUP(int rt) { MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]); } void build(int l,int r,int rt) { MAX[rt] = w; if (l == r) return ; int m = (l + r) >> 1; build(lson); build(rson); } int query(int x,int l,int r,int rt) { if (l == r) { MAX[rt] -= x; return l; } int m = (l + r) >> 1; int ret = (MAX[rt<<1] >= x) ? query(x , lson) : query(x , rson); PushUP(rt); return ret; } int main() { while (~scanf("%d%d%d",&h,&w,&n)) { if (h > n) h = n; build(1 , h , 1); while (n --) { int x; scanf("%d",&x); if (MAX[1] < x) puts("-1"); else printf("%d\n",query(x , 1 , h , 1)); } } return 0; } 成段更新(通常这对初学者来说是一道坎),需要用到延迟标记(或者说懒惰标记),简单来说就是每次更新的时候不要更新到底,用延迟标记使得更新延迟到下次需要更新or询问到的时候
hdu1698 Just a Hook题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:成段替换 (由于只query一次总区间,所以可以直接输出1结点的信息)
#include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; #define lson l , m , rt << 1 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1 const int maxn = 111111; int h , w , n; int col[maxn<<2]; int sum[maxn<<2]; void PushUp(int rt) { sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1]; } void PushDown(int rt,int m) { if (col[rt]) { col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt]; sum[rt<<1] = (m - (m >> 1)) * col[rt]; sum[rt<<1|1] = (m >> 1) * col[rt]; col[rt] = 0; } } void build(int l,int r,int rt) { col[rt] = 0; sum[rt] = 1; if (l == r) return ; int m = (l + r) >> 1; build(lson); build(rson); PushUp(rt); } void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) { if (L <= l && r <= R) { col[rt] = c; sum[rt] = c * (r - l + 1); return ; } PushDown(rt , r - l + 1); int m = (l + r) >> 1; if (L <= m) update(L , R , c , lson); if (R > m) update(L , R , c , rson); PushUp(rt); } int main() { int T , n , m; scanf("%d",&T); for (int cas = 1 ; cas <= T ; cas ++) { scanf("%d%d",&n,&m); build(1 , n , 1); while (m --) { int a , b , c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); update(a , b , c , 1 , n , 1); } printf("Case %d: The total value of the hook is %d.\n",cas , sum[1]); } return 0; } poj3468 A Simple Problem with Integers
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:成段增减 query:区间求和
#include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; #define lson l , m , rt << 1 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1 #define LL long long const int maxn = 111111; LL add[maxn<<2]; LL sum[maxn<<2]; void PushUp(int rt) { sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1]; } void PushDown(int rt,int m) { if (add[rt]) { add[rt<<1] += add[rt]; add[rt<<1|1] += add[rt]; sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1)); sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1); add[rt] = 0; } } void build(int l,int r,int rt) { add[rt] = 0; if (l == r) { scanf("%lld",&sum[rt]); return ; } int m = (l + r) >> 1; build(lson); build(rson); PushUp(rt); } void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) { if (L <= l && r <= R) { add[rt] += c; sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1); return ; } PushDown(rt , r - l + 1); int m = (l + r) >> 1; if (L <= m) update(L , R , c , lson); if (m < R) update(L , R , c , rson); PushUp(rt); } LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) { if (L <= l && r <= R) { return sum[rt]; } PushDown(rt , r - l + 1); int m = (l + r) >> 1; LL ret = 0; if (L <= m) ret += query(L , R , lson); if (m < R) ret += query(L , R , rson); return ret; } int main() { int N , Q; scanf("%d%d",&N,&Q); build(1 , N , 1); while (Q --) { char op[2]; int a , b , c; scanf("%s",op); if (op[0] == 'Q') { scanf("%d%d",&a,&b); printf("%lld\n",query(a , b , 1 , N , 1)); } else { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); update(a , b , c , 1 , N , 1); } } return 0; } 阅读全文
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