编程之美

一、智者说：无聊的时候来几道算法题，可以训练训练自己的思维嘛！难怪之前人家说数学好的人编程起来事半功倍，写算法的过程中真是深有体会啊！感觉就像是在做大学的高数题......本博文仅用来记录自己学习算法的历程，不定时更新。参考自《编程之美》，加上些自己的理解。有啥不对的地方，还请大家不吝指教！

 

二、求二进制数中1的个数（对于一个字节(8bit)的变量，求其二进制中"1"的个数，要求算法的执行效率尽可能高）

public class One{    public static void main(String[] args)    {        int v = 0b10101010;        System.out.println(count(v));        System.out.println(count2(v));        System.out.println(count3(v));    }    /*解法一:对于2进制来说，把他除以2就是向左移了一位，余数为0，代表最后一位为0。余数为1，代表最后一位为1*/    public static int count(int v)    {        int count = 0;        while (v != 0) {            if (v % 2 == 1) {                count++;            }            v = v / 2;        }        return count;    }    /*解法二:使用位操作，每次向右移动1位，即抛弃一位。跟00000001进行与运算判断是否为1*/    public static int count2(int v){        int count=0;        while (v!=0){            count += v & 0B00000001;            v=v>>1;        }        return count;    }    /*解法三:前面两种解法的时间复杂度都是O(log2n),通过二进制数每次和(二进制-1)进行与运行，都会使二进制中少了一个1*/    public static int count3(int v){        int count=0;        while (v!=0){          v=v&(v-1);          count++;        }        return count;    }    /*拓展题:给定两个正整数(二进制表示的A和B),请问把A变成B需要改变多少位？也就是说A和B的二进制表示中有多少位是不同的    * 原理:    * 1. A & B，得到的结果C中的1的位表明了A和B中相同的位都是1的位；    * 2. A | B， 得到的结果D中的1的位表明了A和B在该位至少有一个为1的位，包含了A 与 B 都是1的位数，经过前两步的位运算，，C 中1的位表明了A 和 B在该位都是1，D中为0的位表明了A 和 B 在该位都是0 ，所以进行第三步。    * 3. C ^ D，E 中为1的位表明了A 和 B不同的位。    * */    public static int diff(int A,int B){        int sum=0;        int C = A & B;        int D = A | B;        int E = C ^ D;        sum=count2(E);        return sum;    }}

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三、1、给定一个整数N,那么N的阶乘N!末尾有几个0呢？

       2、求N!的二进制表示中最低位1的位置

public class Two{    public static void main(String[] args)    {        System.out.println(count(27));        System.out.println(count2(27));        System.out.println(count3(27));    }/*问题一的解法一* 解答思路:N!=K*10^m(m>=0),那么m的个数就是末尾0的个数。*         N!=2^x * 3^y * 5^z * 7^n…… 不可否认任何一个数都可以这样分解开来，其中这个因式分解中*         2^x * 5^z 能够组成多少10^m的数，取决于min(x,z)。想想就知道被2整除的频率比被5整除的频*         率高多了，所以只要计算N!因式分解中5的指数。* */    public static Integer count(final int N){        int sum=0;        for(int i=1;i<=N;i++){            int j=i;            while(j % 5==0){                sum++;                j/=5;            }        }        return sum;    }    /*问题一的解法二    *解题思路:Z=N/5 + N/5^2 + N/5^3……(不用担心这会是一个无穷的运算，因为总存在一个K,使得5^k>N,则 N/5^k=0)    * 公式中，N/5表示不大于N的数中5的倍数贡献一个5,N/5^2 表示不大于N的数中5^2的倍数再贡献一个5.    *    *         上面是《编程之美》的解释？反正我没看懂，下面说一下个人见解：    *         比如 一个数 26 那么 26 / 5= 5 表示26的阶乘里面有 5 10 15 20 25 五个数可以贡献 5    *                            26 / 25=1 表示25的阶乘里面有 25 可以贡献 5 ，所以25 又贡献了一次    * */    public static Integer count2(int N){        int sum=0;        while (N!=0){            sum+=N/5;            N=N/5;        }        return sum;    }    /*问题二的解法    * 这么理解:二进制除以2相当于向左移了一个小数点(参照10进制除以10)，余数为0表示可以被除断，    *         为1表示有余数不能被除断。所以 求N!的二进制表示中最低位1的位置，就可以求最低位1    *         后面有几个零，把他加1 就可以了。    *         而 1 后面有几个零，取决于N!中2的个数，因为每存在一个2，则在数的最低位多1个0    * */    public static Integer count3(int N){        int sum=0;        while (N!=0){            N = N >> 1;//相当于N=N/2            sum+=N;        }        return  sum+1;    }}

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