简单dp之递推(3)--hdu4489

题目链接:

hdu 4489

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题意:

给你n个身高高低不同的士兵(身高为1~n)。问你把他们按照波浪状排列(高低高或低高低)有多少方法数。

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题目输入输出:

Input
The first line of input contains a single integer P, (1 <= P <= 1000), which is the number of data sets that follow. Each data set consists of single line of input containing two integers. The first integer, D is the data set number. The second integer, n (1 <= n <= 20), is the number of guards of differing heights.

Output
For each data set there is one line of output. It contains the data set number (D) followed by a single space, followed by the number of up and down orders for the n guards.

Sample Input
4
1 1
2 3
3 4
4 20

Sample Output
1 1
2 4
3 10
4 740742376475050

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思路:

对于n个人，高度分别为1~n。 我们可以从身高从小到大的去放。我们考虑，前面已经有i-1个人现在要放第i个人的情况。由于i是最后放的所以他一定是最高的。无论他在哪个位置一定都是波峰。

所以在他前面的部分结尾一定为高低。在他后面的部分开始一定为低高。这样才能形成高低高低高。如果知道前面结尾高低的方法数n和后面开始低高的方法数m。那么在该位置的方法数就为n*m。而前面的个数和后面的个数是不确定的所以要枚举放置的位置j，前面的个数就为j-1，而后面的个数就为i-j。

由于状态转移要用到结尾高低的方法数和后面开始低高的方法数。所以我们用dp[i][0]表示有i个人且i个人结尾为高低的方法数。dp[i][1]表示有i个人且开始为低高的方法数。那么有i个人排列的方法数就为ans[i]+=dp[j-1][0]*dp[i-j][1]*c[i-1][j-1]。c[i-1][j]为方法数。因为不确定前面j个人的标号。所以要在i-1个人中选j个人出来。（在这里一定要理解，因为n个人身高是1~n，所以选出来的j个人的身高肯定是能从高到底排序的，就是说这里只需要看相对身高，更直白的说就是选出来的j个人的排列数和身高为1~j的排列数是相等的，之前就一直卡在这儿不能理解）。

那怎么更新状态转移需要用到的dp[i][1]和dp[i][0]呢？把i个士兵排好后无非两种情况。开始为低高。开始为高低。那么排列的逆序也满足条件。也就是说结尾为高低的方法数和开始为低高的方法数相同。而对于人数一定的情况。开始为低高的人数和开始为高低的人数相等。所以dp[i][0]=dp[i][1]=ans[i]/2。

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代码:

#include <stdio.h>#include <algorithm>#define LL long long using namespace std;LL Calc(int a,int b)             //计算组合数{    LL i;    if(b==0)return 1;    LL ret1=1;    LL ret2=1;    LL ret3=1;    for(i=a;i>=1;i--)    {        ret1*=i;    }    for(i=b;i>=1;i--)    {        ret2*=i;        }       for(i=a-b;i>=1;i--)    {        ret3*=i;    }    return ret1/(ret2*ret3);} int main(){    LL dp[21][2];    int n;    LL ans[21];    int i,j;    dp[0][1]=dp[0][0]=1;    dp[1][1]=dp[1][0]=1;   //初始化     ans[1]=1;    for(i=2;i<=20;i++)    {        ans[i]=0;        for(j=1;j<=i;j++)        {            ans[i]+=dp[j-1][0]*dp[i-j][1]*Calc(i-1,j-1);        }        dp[i][0]=dp[i][1]=ans[i]/2;    //由对称可知     }    int num;    int cnt;    scanf("%d",&n);    while(n--)    {        scanf("%d %d",&cnt,&num);        printf("%d %lld\n",cnt,ans[num]);    }    return 0;}