HDU 4507 吉哥系列故事――恨7不成妻 （高级数位DP）【模板】

单身! 
　　依然单身！ 
　　吉哥依然单身！ 
　　DS级码农吉哥依然单身！ 
　　所以，他生平最恨情人节，不管是214还是77，他都讨厌！ 
　　 
　　吉哥观察了214和77这两个数，发现： 
　　2+1+4=7 
　　7+7=7*2 
　　77=7*11 
　　最终，他发现原来这一切归根到底都是因为和7有关！所以，他现在甚至讨厌一切和7有关的数！ 

　　什么样的数和7有关呢？ 

　　如果一个整数符合下面3个条件之一，那么我们就说这个整数和7有关—— 
　　1、整数中某一位是7； 
　　2、整数的每一位加起来的和是7的整数倍； 
　　3、这个整数是7的整数倍； 

　　现在问题来了：吉哥想知道在一定区间内和7无关的数字的平方和。 

Input

输入数据的第一行是case数T(1 <= T <= 50)，然后接下来的T行表示T个case;每个case在一行内包含两个正整数L, R(1 <= L <= R <= 10^18)。 

Output

请计算[L,R]中和7无关的数字的平方和，并将结果对10^9 + 7 求模后输出。

Sample Input

31 910 1117 17

Sample Output

2362210

 【题解】

 这道题比较难想 ，尤其是公式部分，想了好久才明白。

 题意就不说了，直接说过程吧。

 数位dp的重点就在于状态的选择，所以我们先来数数有多少种状态：

 ①不含7，这是一种状态，但是如果你熟练的话就知道，这个状态是可以预处理跳过的，所以可以不当作状态，当然用了也是可以的。

 ②各位数字和mod7不为0 ；

 ③数字本身不是7的倍数 ；

 所以现在就有三种状态：数位，②，③；

 所以状态数组就是三维，比如dp[20][10][10]；

 但是平方和呢？

 这不像我们平时写的那些数位题只求满足条件的数的个数，所以我们可以考虑设成结构体数组：

 分别保存满足条件的数的个数，数的和，数的平方和。

 为什么要存数的和呢，想想看，123^2=（100+23）^2 = 100*100+2*100*23+23^2，23这个值就可以从你保存的数的和来得到，而23^2则就是上一次的计算结果，所以当前计算的时候只要求出展开式的第一项和第二项就可以了。

 

 (1) ans.cnt += tmp.cnt

 (2) ans.s += tmp.s + [ i*10^p ]*tmp.cnt      

 (3) ans.ss += tmp.ss + 2*(i*10^p)*tmp.s + [(i*10^p)^2]*tmp.cnt

 

 剩下的看代码注释：

 

 【AC代码】

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;const int inf=1e9+7;typedef __int64 ll;ll m,n;int num[30];//保存每一位上的数字ll p[22];struct tree{    ll cnt;//满足条件的数的个数    ll sum;//和7无关的数的和    ll ssum;//和7无关的数的平方和    tree() //这样写有个好处  就是每次定义一个新的结构体时会自动初始化    {        cnt=-1;sum=0;ssum=0;    }}dp[30][10][10];//第一维表示位数， 第二维表示数位和mod7的值，第三维表示数值mod7的值void init()//把10的i次方存起来{    p[0]=1; //10的零次方等于1    for(int i=1;i<=18;++i)        p[i]=(p[i-1]*10)%inf;}tree dfs(int pos,int s_mod,int mod,int limit) //①位数  ②数位和mod 7的值  ③数值mod 7的值{    if(pos<0)    {        tree New;        New.cnt = (s_mod&&mod) ;//如果当前数的位数和mod7不为0并且数值mod7不为0 就赋值为1        New.ssum = New.sum = 0 ;        return New ;    }    if(!limit && dp[pos][s_mod][mod].cnt!=-1) return dp[pos][s_mod][mod];    tree ans; //设定变量后自动初始化    ans.cnt = 0 ;    int endi = limit ? num[pos] : 9 ;    for(ll i=0;i<=endi;++i)    {        if(i == 7) continue ;         tree next = dfs(pos-1 ,(s_mod+i)%7, (mod*10+i)%7,limit&&i==endi);        ans.cnt=(ans.cnt+next.cnt)%inf;//数的个数        ll s=(i*p[pos])%inf;//最高位代表的值  比如4321  最高位就代表4000         ans.sum = ( ans.sum + ((next.cnt*s)%inf+next.sum )%inf)%inf; //数的和        ans.ssum = ( ans.ssum + (((s*s)%inf)*next.cnt)%inf+(((2*s)%inf)*next.sum)%inf+ next.ssum )%inf;//平方和                                //这是展开式的第一项        //这是展开式的第二项       //这是第三项  就等于上一次的值    }    if(!limit) dp[pos][s_mod][mod]=ans;    return ans;}ll solve(ll x){    int len=0;    while(x)    {        num[len++]=x%10;        x/=10;    }    tree s= dfs(len-1,0,0,1);    return s.ssum ;}int main(){    int t;    init();    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        scanf("%I64d%I64d",&m,&n);        ll k=((solve(n)-solve(m-1))%inf+inf)%inf;//因为n求出来取mod后可能小于m去mod后的值  所以先加mod        printf("%I64d\n",k);    }    return 0;}