中国剩余定理

公式

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用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组

  

有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设

  

是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设

  

是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

设

  

为

  

模

  

的数论倒数(

  

为

  

模

  

意义下的逆元)

 

方程组

  

的通解形式为

 

在模

  

的意义下，方程组

  

只有一个解：

 

证明[1]  ：

从假设可知，对任何

  

，由于

  

，所以

  

这说明存在整数

  

使得

  

这样的

  

叫做

  

模

  

的数论倒数。考察乘积

  

可知：

所以

  

满足：

 

这说明

  

就是方程组

  

的一个解。

另外，假设

  

和

  

都是方程组

  

的解，那么：

而

  

两两互质，这说明

  

整除

  

. 所以方程组

  

的任何两个解之间必然相差

  

的整数倍。而另一方面，

  

是一个解，同时所有形式为：

 

的整数也是方程组

  

的解。所以方程组所有的解的集合就是：