排序算法---堆排序

堆

堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。

堆排序

　　堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它是不稳定排序。

堆排序基本思想及步骤

堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。

　　a.假设给定无序序列结构如下

2.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

4.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。

这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

b.重新调整结构，使其继续满足堆定义

c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.

后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序

再简单总结下堆排序的基本思路：

1. 将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
2. 将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素”沉”到数组末端
3. 重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序

代码实现

public class HeapSort {    public static void main(String []args){        int []arr = {9,8,7,6,5,4,3,2,1};        sort(arr);        System.out.println(Arrays.toString(arr));    }    public static void sort(int []arr){        //1.构建大顶堆        for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){            //从第一个非叶子结点从下至上，从右至左调整结构            adjustHeap(arr,i,arr.length);        }        //2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素        for(int j=arr.length-1;j>0;j--){            swap(arr,0,j);//将堆顶元素与末尾元素进行交换            adjustHeap(arr,0,j);//重新对堆进行调整        }    }    /**     * 调整大顶堆（仅是调整过程，建立在大顶堆已构建的基础上）     * @param arr     * @param i     * @param length     */    public static void adjustHeap(int []arr,int i,int length){        int temp = arr[i];//先取出当前元素i        for(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){//从i结点的左子结点开始，也就是2i+1处开始            if(k+1<length && arr[k]<arr[k+1]){//如果左子结点小于右子结点，k指向右子结点                k++;            }            if(arr[k] >temp){//如果子节点大于父节点，将子节点值赋给父节点（不用进行交换）                arr[i] = arr[k];                i = k;            }else{                break;            }        }        arr[i] = temp;//将temp值放到最终的位置    }    /**     * 交换元素     * @param arr     * @param a     * @param b     */    public static void swap(int []arr,int a ,int b){        int temp=arr[a];        arr[a] = arr[b];        arr[b] = temp;    }}

复杂度

堆排序是一种选择排序，整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为O(n)，在交换并重建堆的过程中，需交换n-1次，而重建堆的过程中，根据完全二叉树的性质，[log2(n-1),log2(n-2)…1]逐步递减，近似为nlogn。所以堆排序时间复杂度一般认为就是O(nlogn)级。

参考

http://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html