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题目：给定b,p,m，问 0 <= n <= m 中有多少个数满足 n^(n!) ≡ b (MOD p)

( 0<=b<p, 1<=p<=10^5, 1 <= m <=2^64 – 1 )

思路：要用到降幂公式，

a^n % p = a^(n % phi(p) + phi(p))  %p  其中n>= phi(p)
phi(p)为欧拉函数

本题分成三部分
第一部分  n! < phi(p)  这时直接计算n! ，phi(p)不会很大。
第二部分 n! >= phi(p) 但是 n! % phi(p) != 0   ，暴力计算，不会出现非常大的数
第三部分n! >= phi(p) 并且n! % phi(p) == 0  这一部分就转化为了  n^phi(p) % c    然后就变成了(n % p) ^ phi(p) % p   那么就成了一个长度为p的循环节了

代码：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")#include<iostream>#include<algorithm>#include<ctime>#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>#include<string>#include<vector>#include<map>#include<set>#include<queue>#include<stack>#include<list>#include<numeric>using namespace std;#define LL long long#define ULL unsigned long long#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f#define mm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define PP puts("*********************");template<class T> T f_abs(T a){ return a > 0 ? a : -a; }template<class T> T gcd(T a, T b){ return b ? gcd(b, a%b) : a; }template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}// 0x3f3f3f3f3f3f3f3fconst int maxn=1e5+50;ULL arr[maxn];ULL eular(ULL n){    ULL res=n;    for(ULL i=2;i*i<=n;i++)        if(n%i==0){            res=res-res/i;            while(n%i==0){                n/=i;            }        }    if(n>1)        res=res-res/n;    return res;}ULL pow_mod(ULL a,ULL b,ULL MOD){    ULL res=1%MOD;    while(b){        if(b&1) res=res*a%MOD;        a=a*a%MOD;        b/=2;    }    return res;}int main(){    int T,cas=0;    ULL b,p,m;    scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%llu%llu%llu",&b,&p,&m);        printf("Case #%d: ",++cas);        if(p==1){            if(m==18446744073709551615ULL)                printf("18446744073709551616\n");            else                printf("%llu\n",m+1);            continue;        }        ULL phi=eular(p);        ULL ans=0,fac=1,i;        for(i=0;i<=m&&fac<=phi;i++){            if(pow_mod(i,fac,p)==b)                ans++;            fac=fac*(i+1);        }        if(fac!=0){            fac%=phi;            for(;i<=m&&fac;i++){                if(pow_mod(i,fac+phi,p)==b)                    ans++;                fac=fac*(i+1)%phi;            }        }        if(i<=m){            ULL cnt=0;            for(ULL j=0;j<p;j++){                arr[j]=pow_mod(i+j,phi,p);                if(arr[j]==b)                    cnt++;            }            ULL num=(m-i+1)/p;            ans+=num*cnt;            ULL rem=(m-i+1)%p;            for(ULL j=0;j<rem;j++)                if(arr[j]==b)                    ans++;        }        printf("%llu\n",ans);    }    return 0;}