最小生成树之prim算法概念与实现

基本概念

prim算法是以顶点为视角的，每一步都会为生长中的树添加一条边。从初始顶点出发，然后找到顶点周围最小的边，然后移动到最小边的另一个端点，继续找到顶点周围最小的边，直到得到最小生成树。所以prim算法的轨迹是一颗从初始顶点不断蔓延的树。

prim算法懒惰实现

prim算法的懒惰实现很简单，将需要考察的顶点的边放进一个优先队列中，并考察边的顶点是否存在于最小生成树中或者是否形成一个环。如果都没有，就将边放进MST。

/** * 懒惰实现普里姆斯算法 * @author yuli * */public class LazyPrimMst {    private boolean[] marked;//标记最小生成树的顶点已经被访问过了    private Queue<Edge> mst;//最小生成树容器    private PriorityQueue<Edge> pq;//横切边优先队列    public LazyPrimMst(EdgeWeightedGraph graph){        pq = new PriorityQueue<>();        mst = new LinkedList<Edge>();        marked = new boolean[graph.getV()];        //将最开始的节点放进mst，并把最开始的节点的邻接点放进优先队列        visit(graph,0);        while(!pq.isEmpty()){            //从优先队列中得到权值最小的边            Edge e = pq.poll();            //得到两个顶点            int v = e.getV();int w = e.getW();            //跳过已经加入mst的边            if(marked[v] && marked[w])                continue;            //将权重最小的边加入mst中            mst.add(e);            //标记已经被加入到mst中的顶点，并把他们的邻接点加入到优先队列中            if(!marked[v])                visit(graph, v);            if(!marked[w])                visit(graph, w);        }    }    /**     * 将顶点放进mst中     * @param graph     * @param v     */    private void visit(EdgeWeightedGraph graph,int v){        //标记顶点已经在mst中了        marked[v] = true;        Iterable<Edge> adj = graph.adj(v);        //将顶点没被访问过(加入mst)的邻接点放进优先队列中        for (Edge edge : adj) {            if(!marked[edge.other(v)]){                pq.add(edge);            }        }    }    /**     * 获取最小生成树     * @return     */    public Iterable<Edge> edges(){        return mst;    }    /**     * 获取最小生成树的权重     * @return     */    public double weight(){        double weight = 0;        Iterable<Edge> edges = edges();        for (Edge edge : edges) {            weight += edge.getWeight();        }        return weight;    }}

prim算法的即时实现

prim的懒惰算法简单方便，然是在把所有边都放进优先队列的做法不够优雅，会消耗很多的内存和性能。所以出现了prim算法的即时实现。
即时的prim算法会逐个考察通向顶点的最优边（权重最小）。因为贪心算法的缘故，通向顶点最小的权值边一定会组成一个最小生成树。
用一个索引优先队列维护通向最小生成树的最近的顶点
将需要考察的顶点放进索引优先队列中，考察通向这个顶点的最近的边，如果有更新权值。考察完后将队列中离树最近的顶点出队并加入到树中。

/** * 普里姆算法即时实现 * @author yuli * */public class PrimMst {    private Edge[] edgeTo;//距离树最近的边    private double[] distTo;//最近边的权重    private boolean[] marked;//是否在树中    private IndexMinPQ<Double> pq;//最小索引优先队列，用来维护到树的最短距离，最小权重    public PrimMst(EdgeWeightedGraph graph) {        edgeTo = new Edge[graph.getV()];        distTo = new double[graph.getV()];        marked = new boolean[graph.getV()];        pq = new IndexMinPQ<>(graph.getV());//初始化索引优先队列        for(int i = 0;i<graph.getV();i++){            distTo[i] = Double.POSITIVE_INFINITY;//初始化权重，最大化        }        //把顶点0设置为最小，并考察        distTo[0] = 0.0d;        pq.insert(0, 0.0d);        while(!pq.isEmpty()){            //出队优先队列中最小的顶点，也就是离树最近的那个顶点。            visit(graph,pq.delMin());        }    }    private void visit(EdgeWeightedGraph graph, int v) {        //将顶点设置为已经考察过了，加入树中        marked[v] = true;        //获取已经加入树中的顶点的邻接点        for(Edge e:graph.adj(v)){            int w = e.other(v);//获取通往顶点（同往树）的另一个端点            //如果该端点已经被考察过了，就说明该端点已经存在于树中了，所以跳过            if(marked[w]){                continue;            }            //如果当前的边权重比离端点最近的一条边的权重轻，就替换掉            if(e.getWeight() < distTo[w]){                //记录到端点的最短边为多少                distTo[w] = e.getWeight();                //记录到端点最短路径                edgeTo[w] = e;                //如果队列中中包含该索引（顶点），就添加顶点到队列中，这个队列是记录离树最近的端点                if(pq.contains(w)){                    //修改该端点离树的距离                    pq.change(w, distTo[w]);                }else{                    //添加队列中到树的最短距离                    pq.insert(w, distTo[w]);                }            }        }    }    /**     * 获取最小生成树     * @return     */    public Iterable<Edge> edges(){        List<Edge> edges = new ArrayList<>();        for (Edge edge : edgeTo) {            if(edge != null){                edges.add(edge);            }        }        return edges;    }    /**     * 获取最小生成树的权重     * @return     */    public double weight(){        double weight = 0;        Iterable<Edge> edges = edges();        for (Edge edge : edges) {            weight += edge.getWeight();        }        return weight;    }}